Question

Найдите площадь равнобедренной трапеции, если ее диагональ, равная 10, образует с основанием угол, косинус которого равен √2/10

Answer 1

Ответ:

Диагонали равнобедренной трапеции равны.

Перенесем диагональ BD в точку С

Получим равнобедренный треугольник АСМ c основанием

AM=AD+DM=a+b

Высота равнобедренного треугольника ( она же высота трапеции)

делит АМ пополам

Так как cos ∠ CAM=√2/10

и cos∠ CAM=((a+b)/2)/10

то

a+b=2√2

По теореме Пифагора:

h2=102–(√2)2=98

h=7√2

Sтрапеции=(a+b)·h/2=14

О т в е т. 14

Answer 2

Площадь этой трапеции равна

14

Answer 3

Для нахождения площади равнобедренной трапеции, мы можем воспользоваться формулой для площади трапеции:

\[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}, \]

где \(a\) и \(b\) - основания трапеции, \(h\) - высота трапеции.

В данном случае, у нас есть диагональ трапеции и угол, который она образует с основанием. Поскольку трапеция равнобедренная, то мы можем использовать информацию о косинусе угла для вычисления высоты трапеции.

Известно, что \[ \cos(\theta) = \frac{{\text{основание}}}{\text{диагональ}}. \]

В данном случае \(\cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{10}\). Так как косинус угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, мы можем записать:

\[ \frac{a}{10} = \frac{\sqrt{2}}{10}. \]

Отсюда получаем, что \(a = \sqrt{2}\).

Так как трапеция равнобедренная, то её второе основание \(b\) также равно \(\sqrt{2}\).

Теперь у нас есть значения \(a\), \(b\), и диагонали \(h\), и мы можем подставить их в формулу для площади трапеции:

\[ S = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{2}) \cdot h}{2} = \sqrt{2} \cdot h. \]

Таким образом, чтобы найти площадь трапеции, нам нужно умножить высоту на \(\sqrt{2}\). Теперь давайте найдем высоту.

Известно, что \[ h = \sqrt{\text{диагональ}^2 - \left(\frac{a - b}{2}\right)^2}. \]

Подставим значения: \[ h = \sqrt{10^2 - \left(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{100 - 1} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}. \]

Теперь, подставляя высоту обратно в формулу для площади трапеции, получаем:

\[ S = \sqrt{2} \cdot 3\sqrt{11} = 3\sqrt{22}. \]

Итак, площадь равнобедренной трапеции равна \(3\sqrt{22}\).