Question

77 БАЛЛОВ ПОМОГИТЕ СРОЧНо В треугольнике АВС проведена прямая МК параллельно стороне АС. М лежит на АВ, К лежит на ВС. МВ = 5, ВК = 6, МК = 7. ВМ : АМ = 2 : 3 • Докажите, что треугольники АВС и ВМК подобны • Найдите площадь ВМК • Найдите площадь АВС

Answer 1

Ответ:

1) треугольники АВС и ВМК подобны по двум соответственным углам при параллельных прямых МК и АС

2)найти площадь ВМК по формуле Герона

3)Площади подобных треугольников относятся как квадраты их соответствующих сторон, то есть отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

МВ/АВ=1/4 а в квадрате получаем 1/16, значит S(АВС) =16S(МВК)

Answer 2

Дано:

1. \(MB = 5\) 2. \(VK = 6\) 3. \(MK = 7\)

Требуется:

1. Доказать подобие треугольников \(ABC\) и \(VMK\). 2. Найти площадь треугольника \(VMK\). 3. Найти площадь треугольника \(ABC\).

Доказательство подобия треугольников \(ABC\) и \(VMK\):

Так как прямая \(MK\) параллельна стороне \(AC\), по теореме Талеса отношение длин отрезков \(BM\) и \(MA\) равно отношению длин отрезков \(BK\) и \(KC\).

\(\frac{BM}{MA} = \frac{BK}{KC}\)

Подставим известные значения:

\(\frac{5}{MA} = \frac{2}{3}\)

Отсюда найдем \(MA\):

\(MA = \frac{15}{2}\)

Теперь, используя подобные треугольники \(BMK\) и \(CAC\) (по теореме угловой биссектрисы), мы можем утверждать, что:

\(\frac{BK}{BA} = \frac{MK}{CA}\)

Подставим значения:

\(\frac{2}{3+MA} = \frac{7}{CA}\)

Решим уравнение относительно \(CA\):

\(\frac{2}{3+\frac{15}{2}} = \frac{7}{CA}\)

\(CA = \frac{14}{3}\)

Теперь, учитывая, что \(VK = 6\), мы можем выразить \(KC\):

\(KC = VK - VC = 6 - \frac{14}{3} = \frac{4}{3}\)

Теперь мы убедились, что стороны треугольников пропорциональны, следовательно, треугольники \(ABC\) и \(VMK\) подобны.

Найдем площадь треугольника \(VMK\):

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона:

\(S_{VMK} = \sqrt{p \cdot (p - VK) \cdot (p - MK) \cdot (p - VM)}\)

где \(p\) - полупериметр треугольника.

\(p = \frac{VK + MK + VM}{2} = \frac{6 + 7 + 5}{2} = 9\)

Теперь подставим значения:

\(S_{VMK} = \sqrt{9 \cdot (9 - 6) \cdot (9 - 7) \cdot (9 - 5)}\)

\(S_{VMK} = \sqrt{9 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 4} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}\)

Найдем площадь треугольника \(ABC\):

Так как треугольники \(ABC\) и \(VMK\) подобны, отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон:

\(\frac{S_{ABC}}{S_{VMK}} = \left(\frac{AC}{MK}\right)^2\)

Подставим значения:

\(\frac{S_{ABC}}{6\sqrt{6}} = \left(\frac{\frac{14}{3}}{7}\right)^2\)

Решим уравнение относительно \(S_{ABC}\):

\(S_{ABC} = 6\sqrt{6} \cdot \left(\frac{\frac{14}{3}}{7}\right)^2\)

\(S_{ABC} = \frac{56\sqrt{6}}{9}\)

Таким образом, мы доказали подобие треугольников \(ABC\) и \(VMK\), нашли площадь треугольника \(VMK\) (\(6\sqrt{6}\)) и площадь треугольника \(ABC\) (\(\frac{56\sqrt{6}}{9}\)).