Question

3. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, укоторого боковая сторона относится к стороне основания как 5 : 6. Боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Найдите ребра призмы, учитывая, что полная поверхность призмы равна 2520 м2. ​

Answer 1

Пусть стороны основания равны 5x, 5x и 6x. Тогда высота этого треугольника, проведённая к основанию, равна √((5x)²–(6x/2)²)=4x. Таким образом, площадь S=½·6x·4x=12x². Следовательно, высота, проведённая к боковой стороне, равна 2S/(5x)=4,8x.

Итак, площадь боковой поверхности равна (5x+5x+6x)·4,8x=76,8x², а площадь полной поверхности

76,8x²+2·12x²=100,8x²=2520,

откуда x=5. Рёбра призмы равны 25, 25, 30 (рёбра оснований), 24 («боковые» рёбра).

Answer 2

Давайте обозначим боковую сторону равнобедренного треугольника как \(a\), а основание как \(b\). Условие задачи гласит, что боковая сторона относится к основанию как \(5:6\), так что мы можем записать уравнение:

\[ a = \frac{5}{6}b \]

Также, согласно условию, боковое ребро призмы равно высоте основания, опущенной на его боковую сторону. Если обозначить высоту как \(h\), то это можно записать как:

\[ a^2 + h^2 = b^2 \]

Полная поверхность призмы состоит из площади двух оснований и площади боковой поверхности:

\[ S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} \]

Где \(S_{\text{осн}}\) - площадь одного основания, \(S_{\text{бок}}\) - площадь боковой поверхности.

Теперь мы знаем, что \(S_{\text{полн}} = 2520 \, \text{м}^2\). Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей трех прямоугольных треугольников (так как боковая поверхность призмы состоит из трех таких треугольников). Площадь каждого треугольника равна \(a \cdot h / 2\). Так что:

\[ S_{\text{бок}} = 3 \cdot \frac{ah}{2} \]

Площадь одного основания призмы равна \(S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}bh\), и, следовательно, площадь двух оснований равна \(2S_{\text{осн}} = bh\).

Теперь мы можем записать уравнение для полной поверхности призмы:

\[ 2520 = bh + 3 \cdot \frac{ah}{2} \]

Мы также знаем, что \(a = \frac{5}{6}b\). Заменяя это в уравнение, мы получаем:

\[ 2520 = bh + 3 \cdot \frac{5}{6}b \cdot \frac{h}{2} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \(b\) и \(h\). После нахождения значений \(b\) и \(h\), мы сможем найти боковое ребро \(a\) с помощью соотношения \(a = \frac{5}{6}b\).