Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ! Известно, что OA + OC = OB + OD(вектора), причём точки А, В и С не лежат наодной прямой. Докажите, что ABCD — параллелограмм.​

Answer 1

Попробуем решать задачу от обратного. Представим, что АВСD -- параллелограмм.

А                     В

      D                      C

А и С -- противоположны, а значит, что  векторы ОА и АС лежат на одной прямой. Тоже самое с векторами OD и OB. Поскольку в параллелограмме диагонали (на которых предположительно лежат наши векторы) не равны, то значит что OA+OC = OB + OD может быть верно, только если сумма каждой пары равна нулю. А это значит, что векторы OA, OC и OB, OD равны между собой по длине и противоположны и понаправлению, а это значит, что О -- центр параллелограмма.

Всё сошлось. Если кратко, то равество будет верным только тогда, когда АВСD будет параллелограммом.

Надеюсь, что не слишком сложно

Answer 2

Давай разберем это! У нас есть векторное равенство \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \). Посмотрим, что это означает.

Известно, что вектор можно представить как сдвиг от одной точки к другой. Например, вектор \( \overrightarrow{OA} \) представляет собой направление от точки \( O \) к точке \( A \), и аналогично для остальных векторов.

Так как \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \), можно раскрыть это уравнение и заметить, что левая сторона \( \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} \) представляет собой вектор, который идет от точки \( O \) к точке \( C \), а правая сторона \( \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} \) идет от точки \( O \) к точке \( D \).

Таким образом, получается, что вектор, идущий от точки \( O \) к точке \( C \), равен вектору, идущему от \( O \) к \( D \). Это означает, что диагональ параллелограмма \( AC \) и \( BD \) соответствуют друг другу, так как они оба идут от одной и той же точки \( O \) к точке \( C \) и \( D \) соответственно.

Теперь, если рассмотреть параллелограмм \( ABCD \), диагонали \( AC \) и \( BD \) пересекаются в точке \( O \). Из свойств параллелограмма известно, что диагонали в нем делятся пополам. Таким образом, \( AC \) и \( BD \) равны по длине и параллельны друг другу, что делает \( ABCD \) параллелограммом.

Так что, исходя из равенства векторов и свойств параллелограмма, можно утверждать, что \( ABCD \) — параллелограмм.