Question

в трапеции ABCD биссектрисы углов DAB и ABC пересеклись на стороне CD. найдите AB если AD = 5, BC = 2 ​

Answer 1

Ответ:

Пря­мая, па­рал­лель­ная ос­но­ва­ни­ям BC и AD тра­пе­ции ABCD, пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD в точ­ках M и N. Диа­го­на­ли AC и BD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Пря­мая MN пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны OA и OD тре­уголь­ни­ка AOD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но.

а) До­ка­жи­те, что MK = NL.

б) Най­ди­те MN, если из­вест­но, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3.

Answer 2

Для решения этой задачи давайте обозначим следующие величины:

- \(AB\) - основание трапеции, - \(AD\) - одна из параллельных сторон, - \(BC\) - другая параллельная сторона.

Известно, что биссектрисы углов \(DAB\) и \(ABC\) пересеклись на стороне \(CD\). Пусть точка пересечения биссектрис будет обозначена как \(E\). Тогда мы можем использовать следующее свойство биссектрисы: она делит угол пополам.

Сначала рассмотрим треугольник \(ADE\). По свойству биссектрисы угла \(DAB\), мы можем утверждать, что \(\angle DAE = \angle EAB\). Аналогично, в треугольнике \(CEB\) угол \(\angle CBE = \angle EBA\).

Теперь давайте рассмотрим треугольник \(ABC\). Угол \(DAB\) делится биссектрисой \(AE\), и угол \(ABC\) делится биссектрисой \(BE\). Исходя из этих биссектрис, мы можем сказать, что углы \(\angle DAE\) и \(\angle CBE\) равны.

Теперь у нас есть два треугольника: \(ADE\) и \(CEB\), в которых соответственные углы равны. Такие треугольники называются подобными, и мы можем установить пропорциональность их сторон.

\[\frac{AD}{AE} = \frac{CE}{EB}\]

Так как точка \(E\) - точка пересечения биссектрис, то \(AE = BE\).

\[\frac{AD}{AE} = \frac{CE}{AE}\]

Отсюда следует, что \(AD = CE\).

Теперь рассмотрим трапецию \(ABCD\). Мы знаем, что \(AD = 5\) и \(BC = 2\). С учетом нашего вывода, мы теперь знаем, что \(CE = 5\).

Теперь обратим внимание на стороны трапеции. Так как \(AE = BE\), то \(AB = CD + CE\).

\[AB = CD + CE\]

Подставим известные значения:

\[AB = BC + CE\]

\[AB = 2 + 5 = 7\]

Таким образом, длина основания трапеции \(AB\) равна 7.