Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3.0.4), B(4.6.-1), С(2.8.2), D(0,4,8). Средствами векторной алгебры найти длину ребра АВ, косинус угла между ребрами AB и AD, средствами векторной алгебры площадь грани ABC, Объем пирамиды. Варианты ответов: 1. 16 2. V62 3. 747 4. Ничего из вышеперечисленного​

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды ABCD: A(3.0.4), B(4.6.-1), С(2.8.2), D(0,4,8). Средствами векторной алгебры найти:

1) длину ребра АВ.

Находим вектор АВ: (4-3; 6-0; -1-4) = (1; 6; -5).

Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Длина АB = √(1² + 6² + (-5)²)  = √(6 + 36 + 25) = √67.

 

2) косинус угла между ребрами AB и AD.

Вектор АВ найден и равен (1; 6; -5).

Находим координаты вектора AD по точкам A(3; 0; 4 и D(0; 4; 8).  

AD = (0-3; 4-0; 8-4) = (-3; 4; 4).

Находим косинус угла между векторами AB и AD по формуле:

cos φ = | s · q || s |·| q | =

= | sx · qx + sy · qy + sz · qz |/(√(sx2 + sy2 + sz2) · √(qx2 + qy2 + qz2)) =

= | 1· (-3) + 6 · 4 + (-5) · 4 |/(√(12 + 62 + (-5)2) · √((-3)2 + 42 + 42)) =

= | -3 + 24 - 20 |/(√(1 + 36 + 25) · √(9 + 16 + 16)) =

= 1/(√62 · √41) =  1/√2542 = √2542/2542 ≈ 0,01983.

φ = arccos 0,01983 = 88,864°.

 

3) площадь грани ABC.

Она равна половине модуля векторного произведения векторов АB и АC.

Вектор АB найден и равен  (1; 6; -5).

Находим вектор АC по точкам A(3; 0; 4) и С(2; 8; 2)

АС = (2-3; 8-0; 2-4) = (-1; 8; -2).

Находим векторное произведение AВxAС.

 i        j       k|       i        j

1       6     -5|      1       6

-1       8     -2|     -1       8 = -12i + 5j + 8k + 2j + 40i + 6k = 28i + 7j + 14k.

Найден нормальный вектор грани АВС: (28; 7; 14).

Его модуль равен √(28² + 7² + 14²)  = √(784 + 49 +196) = √1029 = 7√21 ≈ 32,078

S = (1/2)*32,078 = 16,039 кв. ед.

 

4) объем пирамиды.

Объём пирамиды равен 1/6 смешанного произведения векторов (ABxAC)*AD.

Вектор АВхАС уже найден и равен (28; 7; 14).

Вектор AD тоже найден: AD = (-3; 4; 4).

V = (1/6)(AВxAС)*AD.

ABxAC = 28   7   14

     AD = -3     4    4

            -84 + 28 + 56 = 0.

Это говорит о том, что пирамида вырожденная, так как все вершины лежат в одной плоскости.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся векторной алгеброй. Давайте обозначим векторы:

\[ \mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} \] \[ \mathbf{AD} = \mathbf{D} - \mathbf{A} \] \[ \mathbf{AC} = \mathbf{C} - \mathbf{A} \]

1. Длина ребра \( AB \): Длина вектора \( \mathbf{AB} \) равна: \[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} \]

Подставим координаты точек \( A \) и \( B \): \[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{(4 - 3)^2 + (6 - 0)^2 + (-1 - 4)^2} \] \[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{1 + 36 + 25} \] \[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{62} \]

Ответ: \( |\mathbf{AB}| = \sqrt{62} \).

2. Косинус угла \( \angle BAD \): Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле: \[ \cos(\angle BAD) = \frac{\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD}}{|\mathbf{AB}| \cdot |\mathbf{AD}|} \]

Где \( \cdot \) - это скалярное произведение векторов.

\[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = (x_{AB} \cdot x_{AD}) + (y_{AB} \cdot y_{AD}) + (z_{AB} \cdot z_{AD}) \]

Подставим значения: \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AD} = (1 \cdot -3) + (6 \cdot 0) + (-5 \cdot 4) = -3 - 20 = -23 \]

Теперь вычислим длины векторов: \[ |\mathbf{AB}| = \sqrt{62} \] \[ |\mathbf{AD}| = \sqrt{(0 - 3)^2 + (4 - 0)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{9 + 16 + 16} = \sqrt{41} \]

Подставим все значения в формулу для косинуса угла: \[ \cos(\angle BAD) = \frac{-23}{\sqrt{62} \cdot \sqrt{41}} \]

Ответ: \( \cos(\angle BAD) = -\frac{23}{\sqrt{2542}} \).

3. Площадь грани \( ABC \): Площадь треугольника можно найти, используя половину векторного произведения двух его сторон. Площадь треугольника ABC равна половине длины векторного произведения векторов \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \): \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} |\mathbf{AB} \times \mathbf{AC}| \]

Векторное произведение двух векторов \( \mathbf{AB} \) и \( \mathbf{AC} \) равно: \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_{AB} & y_{AB} & z_{AB} \\ x_{AC} & y_{AC} & z_{AC} \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель: \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 6 & -5 \\ -1 & 2 & -2 \end{vmatrix} \]

Разложим определитель по первой строке: \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 6 & -5 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 6 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \]

Вычислим значения определителей: \[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \mathbf{i} \cdot ((6 \cdot -2) - (-5 \cdot 2)) - \mathbf{j} \cdot ((1 \cdot -2) - (-5 \cdot -1)) + \mathbf{k} \cdot ((1 \cdot 2) - (6 \cdot -1)) \]

\[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = \mathbf{i} \cdot (-12 + 10) - \mathbf{j} \cdot (2 + 5) + \mathbf{k} \cdot (2 + 6) \]

\[ \mathbf{AB} \times \mathbf{AC} = -2\mathbf{i} - 7\mathbf{j} + 8\mathbf{k} \]

Теперь вычислим длину этого вектора: \[ |\mathbf{AB} \times \mathbf{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 8^2} = \sqrt{4 + 49 + 64} = \sqrt{117} \]

Подставим это значение в формулу для площади: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{117} \]

Ответ: \( S_{ABC} = \frac{\sqrt{117}}{2} \).

4. Объем пирамиды: Объем пирамиды можно найти, использу