Question

Точки A,B,C,D некомпланарны. На отрезках АС и ВС взяты соответственно точки М и N такие, что АМ:МС=ВN:NC=m:n. Найдите длину отрезка, заданного серединами отрезков АD и ВD, если MN=a.

Answer 1

Дано:  D∉(ABC),  M∈AC,  N∈BC,

           АМ:МС=ВN:NC=m:n,  MN=a,

           F∈AD,  AF=FD,  K∈BD,  BK=KD

Найти:  FK

Решение:

По теореме Фалеса:

если   АМ:МС=ВN:NC=m:n,  то MN║AB.

⇒   ∠CMN = ∠CAB  как соответственные при MN║AB и секущей AC.

Значит, треугольники ABC и MNC подобны по двум углам (∠C - общий).

$\dfrac{AB}{MN}=\dfrac{AC}{MC}=\dfrac{BC}{NC}=\dfrac{m+n}n\\\\\\\dfrac{AB}a=\dfrac{m+n}n;\ \ \ \ AB=\dfrac{a\cdot (m+n)}n$

Рассмотрим треугольник ABD.

Точки F и К - середины сторон, значит, отрезок FK - средняя линия треугольника ABD, параллельная стороне AB. Значит, длина FK равна половине стороны АВ.

$FK=\dfrac{AB}2=\dfrac{a(m+n)}{2n}$

Ответ: $\boldsymbol{\dfrac{a(m+n)}{2n}}$

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся барицентрическими координатами. Пусть точки \(A, B, C, D\) имеют барицентрические координаты \((x_A, y_A, z_A), (x_B, y_B, z_B), (x_C, y_C, z_C), (x_D, y_D, z_D)\) соответственно. Тогда точки \(M\) и \(N\) на отрезках \(AC\) и \(BC\) могут быть представлены следующим образом:

\[ M = \left(\frac{{x_A + m \cdot x_C}}{{1 + m}}, \frac{{y_A + m \cdot y_C}}{{1 + m}}, \frac{{z_A + m \cdot z_C}}{{1 + m}}\right) \]

\[ N = \left(\frac{{x_B + n \cdot x_C}}{{1 + n}}, \frac{{y_B + n \cdot y_C}}{{1 + n}}, \frac{{z_B + n \cdot z_C}}{{1 + n}}\right) \]

Так как \(M\) и \(N\) являются серединами отрезков \(AC\) и \(BC\), то:

\[ \frac{{AM}}{{MC}} = \frac{{BM}}{{NC}} = \frac{{1}}{{2}} \]

Используя это условие, мы можем записать два уравнения:

\[ \frac{{x_A + m \cdot x_C}}{{1 + m}} = \frac{{x_B + n \cdot x_C}}{{2 + n}} \]

\[ \frac{{y_A + m \cdot y_C}}{{1 + m}} = \frac{{y_B + n \cdot y_C}}{{2 + n}} \]

\[ \frac{{z_A + m \cdot z_C}}{{1 + m}} = \frac{{z_B + n \cdot z_C}}{{2 + n}} \]

Решим систему уравнений относительно \(m\) и \(n\). Полученные значения подставим в выражения для \(M\) и \(N\). Теперь мы можем выразить координаты точек \(M\) и \(N\) через параметры \(a, b\) и \(c\):

\[ M = \left(\frac{{x_A + a \cdot x_C}}{{1 + a}}, \frac{{y_A + a \cdot y_C}}{{1 + a}}, \frac{{z_A + a \cdot z_C}}{{1 + a}}\right) \]

\[ N = \left(\frac{{x_B + b \cdot x_C}}{{1 + b}}, \frac{{y_B + b \cdot y_C}}{{1 + b}}, \frac{{z_B + b \cdot z_C}}{{1 + b}}\right) \]

Теперь найдем координаты середины отрезка \(AD\) и \(BD\):

\[ D = \left(\frac{{x_A + x_B}}{{2}}, \frac{{y_A + y_B}}{{2}}, \frac{{z_A + z_B}}{{2}}\right) \]

Теперь, учитывая, что \(MN = a\), мы можем записать:

\[ \sqrt{{\left(\frac{{x_A + a \cdot x_C}}{{1 + a}} - \frac{{x_B + b \cdot x_C}}{{1 + b}}\right)^2 + \left(\frac{{y_A + a \cdot y_C}}{{1 + a}} - \frac{{y_B + b \cdot y_C}}{{1 + b}}\right)^2 + \left(\frac{{z_A + a \cdot z_C}}{{1 + a}} - \frac{{z_B + b \cdot z_C}}{{1 + b}}\right)^2}} = a \]

Решив это уравнение относительно \(a\), мы найдем длину отрезка, заданного серединами отрезков \(AD\) и \(BD\).