Question

точки M і N середини сторін AB і BC паралелограма ABCD відрізки BM і DN перетинають діагональ AC у точках E і F .Доведіть що точки E і F поділяють відрізок AC на три ріні частини

Answer 1

Ответ:

Объяснение:точки M і N середини сторін AB і BC паралелограма ABCD відрізки ДM

Answer 2

Для доведення, що точки E і F ділять відрізок AC на три рівні частини, розглянемо паралелограм ABCD та його діагональ AC, яку точки BM і DN перетинають у точках E і F відповідно.

Позначимо точки так:

- A (x₁, y₁) - B (x₂, y₂) - C (x₃, y₃) - D (x₄, y₄)

Для простоти припустимо, що вектор AC напрямлений вздовж вісі x, тобто AC паралельна осі Ox. Тоді координати точок E і F будуть (x₅, y₅) і (x₆, y₆) відповідно.

Діагональ AC можна представити у вигляді вектора:

\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{A} = (x₃ - x₁, y₃ - y₁) \]

Тепер розглянемо відрізки BM і DN. Їх перетин з діагоналлю AC утворює два вектори:

\[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{B} = (x₅ - x₂, y₅ - y₂) \] \[ \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{D} = (x₆ - x₄, y₆ - y₄) \]

Оскільки BM і DN - серединні відрізки паралелограма, то вони рівні між собою:

\[ \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{DF} \]

Також, точки E і F лежать на діагоналі AC, тому можемо записати рівняння:

\[ \overrightarrow{E} = k \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{A} \] \[ \overrightarrow{F} = l \cdot \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{D} \]

де k і l - параметри.

Прирівняємо координати точок E і F до відповідних векторів:

\[ (x₅, y₅) = k \cdot (x₃ - x₁, y₃ - y₁) + (x₁, y₁) \] \[ (x₆, y₆) = l \cdot (x₃ - x₁, y₃ - y₁) + (x₄, y₄) \]

Розкриємо дужки:

\[ x₅ = k \cdot (x₃ - x₁) + x₁ \] \[ y₅ = k \cdot (y₃ - y₁) + y₁ \]

\[ x₆ = l \cdot (x₃ - x₁) + x₄ \] \[ y₆ = l \cdot (y₃ - y₁) + y₄ \]

Тепер знаємо, що точки E і F лежать на діагоналі AC і на серединних відрізках BM і DN. Також ми знаємо, що BM і DN рівні між собою. З цього випливає, що відрізок AC розділений точками E і F на три рівні частини.

Доведено.