Question

ДАЮ 35 БАЛЛОВ, ОЧЕНЬ НУЖНО 1) У ромбі ABCD точки F, P i M - середини сторін BC, CD, i AD відповідно. Знайдіть суму довжин діагоналей ромба, якщо АВ = 5 см, а периметр трикутника FPM дорівнює 12 см. 2) У чотирикутнику ABCD діагоналі AC i BD перпендикулярні. Точки M, F, K i P - середини сторін АВ, BC i DA відповідно. Доведіть, що MK = FP.

Answer 1

1) В ромбе ABCD точки F, P и M – середины сторон BC, CD, и AD соответственно. Найдите сумму длин диагоналей ромба, если АВ = 5 см, а периметр треугольника FPM равен 12 см.

————

      Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.  

     Так как точки F, P и M – середины сторон BC, CD  и AD,  отрезок FP — средняя линия ∆ BCD и равна половине диагонали ВD; МР - средняя линия ∆ АСD и равна половие диагонали АС.

FP║BD; MP║AC; a так как  АС⊥ВD, то FP⊥МР. ⇒ ∆ MFP – прямоугольный.

    Ромб - параллелограмм, все стороны ромба равны. Поэтому равны и их половины. BF=AM, ВF и АМ параллельны⇒

АВFM - параллелограмм, MF=AB=5 см.

Периметр ∆ MFP=5+FP+MP=12 (см) ⇒  FP+MP=12-5=7 (см)

Диагонали ромба вдвое больше катетов ∆ MFP, ⇒

          BD+AC=2•( FP+MP)=2•7=14 (см).

—————

2)  В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Точки M, F, K и  P – середины сторон АВ, BC, СD и DA соответственно. Докажите, что MK = FP.

     Точки M, F, K и  P – середины сторон четырехугольника ABCD,    поэтому являются средними линиями треугольников АВС, ВСD, АСD  и АВD. По свойству средней линии треугольника:

МР=FK  и параллельны BD, а MF=P и параллельны АС.

АС⊥BD , ⇒  соседние стороны четырехугольника PMFK , которые им параллельны, взаимно перпендикулярны.  PMFK - прямоугольник, МК и PF его диагонали. Диагонали прямоугольника равны. MK  и  FP – его диагонали. ⇒ MK = FP

Answer 2

Задача 1: Отношение диагонали ромба к его стороне

Для решения данной задачи воспользуемся свойством ромба, согласно которому диагонали ромба делятся пополам точкой пересечения.

Обозначим сторону ромба AB = CD = a и диагонали AC = BD = d.

По условию, точки F, P и M являются серединами сторон BC, CD и AD соответственно.

Таким образом, получаем следующие отношения:

Формула 1: FM = MC = a/2 Формула 2: MP = PD = a/2 Формула 3: FP = PC = a/2

Также из условия известно, что периметр треугольника FPM равен 12 см. Это означает, что сумма длин его сторон равна 12 см.

Используя эти данные, мы можем записать следующее:

a/2 + a/2 + a/2 = 12

Упрощая выражение, получаем:

3a/2 = 12

Умножая обе части уравнения на 2/3, получаем:

a = 8

Теперь мы знаем длину стороны ромба, а также отношение длины диагонали к длине стороны.

Вычисление суммы длин диагоналей ромба

Для вычисления суммы длин диагоналей ромба, мы можем воспользоваться формулой:

Сумма длин диагоналей = 2 * √(a^2 + a^2)

Подставляя значение a = 8 в данную формулу, получаем:

Сумма длин диагоналей = 2 * √(8^2 + 8^2) = 2 * √(64 + 64) = 2 * √(128) = 2 * √(2^7) = 2 * 2√2 * √2^5 = 2 * 2 * 2√2 = 8√2

Таким образом, сумма длин диагоналей ромба равна 8√2 см.

Задача 2: Доказательство MK = FP в четырехугольнике

Для доказательства MK = FP в четырехугольнике ABCD воспользуемся свойством четырехугольника, согласно которому серединные линии четырехугольника образуют параллелограмм.

Обозначим стороны четырехугольника AB = a, BC = b, CD = c и DA = d. Диагонали AC и BD перпендикулярны.

Точки M, F, K и P являются серединами сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Таким образом, получаем следующие отношения:

Формула 1: MF = FK = a/2 Формула 2: FP = PK = b/2 Формула 3: MP = PC = (a + b)/2

Для доказательства MK = FP, нужно показать, что стороны параллелограмма MKFP, которые соединяют противоположные вершины, равны.

Из формулы 1 и формулы 2 следует, что MF = FK = a/2 и FP = PK = b/2.

Таким образом, стороны MF и FK параллелограмма MKFP равны.

Также из формулы 3 известно, что MP = PC = (a + b)/2.

Таким образом, стороны MP и PC параллелограмма MKFP равны.

Таким образом, мы доказали, что стороны параллелограмма MKFP равны, а значит MK = FP.