Question

биссектриса угла M паралеллограма MKPT пересекает сторону KP в точке F. Найдите периметр паралеллограма если KF=9, FP=13

Answer 1

Ответ:

62, св-во биссектрисы угла параллелограмма, св-во самого параллеллграмма, объяснение в фото

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

\(MK = a\) (длина стороны MK параллелограмма), \(KP = b\) (длина стороны KP параллелограмма), \(KF = x\) (длина отрезка KF), \(FP = y\) (длина отрезка FP).

Также, пусть \(AB\) будет биссектрисой угла \(M\), где \(A\) - точка пересечения биссектрисы с стороной \(MK\), \(B\) - точка пересечения биссектрисы с стороной \(KP\).

Мы знаем, что биссектриса делит угол на две равные части. Таким образом, треугольник \(MAB\) - это прямоугольный треугольник. Теперь давайте рассмотрим отрезок \(AB\) и обозначим его длину через \(c\).

Из прямоугольного треугольника \(MAB\) по теореме Пифагора мы можем записать:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Теперь, так как биссектриса делит сторону \(MK\) в отношении \(KP\), мы можем написать:

\[\frac{AB}{BK} = \frac{AM}{MK}\]

\[\frac{c}{x} = \frac{a}{b}\]

Отсюда следует, что:

\[c = \frac{ax}{b}\]

Также, мы знаем, что \(KF + FP = x + y = 22\).

Теперь мы можем записать выражение для периметра параллелограмма:

\[P = 2a + 2b\]

Используя наши обозначения, мы можем выразить \(P\) через \(x\) и \(y\):

\[P = 2a + 2b = 2\left(\frac{bx}{a}\right) + 2b = 2\left(\frac{bx}{a} + b\right)\]

Теперь подставим значение \(x + y = 22\):

\[P = 2\left(\frac{b(22 - y)}{a} + b\right)\]

Теперь подставим известные значения \(x = 9\) и \(y = 13\):

\[P = 2\left(\frac{b(22 - 13)}{a} + b\right) = 2\left(\frac{9b}{a} + b\right)\]

Теперь мы можем выразить \(a\) через \(b\) с использованием уравнения Пифагора:

\[a^2 = c^2 - b^2 = \left(\frac{bx}{b}\right)^2 - b^2 = x^2 - b^2\]

\[a = \sqrt{x^2 - b^2}\]

Теперь подставим это обратно в выражение для \(P\):

\[P = 2\left(\frac{9b}{\sqrt{x^2 - b^2}} + b\right)\]

Теперь подставим известные значения \(x = 9\) и \(y = 13\):

\[P = 2\left(\frac{9b}{\sqrt{9^2 - b^2}} + b\right) = 2\left(\frac{9b}{\sqrt{81 - b^2}} + b\right)\]

Теперь мы можем решить это уравнение для \(b\), а затем найти \(a\) и, следовательно, периметр \(P\).