Question

Срочно! Дан равнобедренный треугольник АВС с основанием АС.На боковой стороне ВС отмечены точки К и N(K лежит между В и N).Оказалось,что КN=AN и угол ВАК=углу NAC.Найдите угол ВАN.​

Answer 1

Ответ:

60°

Объяснение:

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

КN = AN;

∠ВАК = ∠NAC.

Найти: ∠ВАN.

Решение:

Пусть ∠ВАК = ∠NAC = α; ∠KAN = β.

Искомый ∠ВАN = α+β.

1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠А = ∠С = 2α+β

2. Рассмотрим ΔАКN - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠KAN = ∠АКN =β

• a) Внешний угол треугольника равен сумме углов, не смежных с ним.

⇒ ∠1 = ∠С+∠NАС = (2α+β) + α = 3α+β

• б) Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠1 = 180° - (∠KAN+∠AKN) = 180°-2β

Получили равенство:

3α + β = 180°-2β

3α+3β = 180°

3(α+β) = 180°

α+β = 60°

⇒ ВАN = 60°

Answer 2

Давайте рассмотрим равнобедренный треугольник \( \triangle ABC \) с основанием \( AC \). Пусть точки \( K \) и \( N \) на боковой стороне \( BC \) таковы, что \( K \) лежит между \( B \) и \( N \), а также \( KN = AN \). Также известно, что угол \( BAK \) равен углу \( NAC \).

Для начала обозначим углы треугольника:

- \( \angle BAC \) - угол при вершине \( A \), - \( \angle ABC \) - угол при вершине \( B \), - \( \angle ACB \) - угол при вершине \( C \).

Так как треугольник \( \triangle ABC \) равнобедренный, то \( \angle ABC = \angle ACB \), а также боковые стороны \( AB \) и \( BC \) равны.

Теперь, учитывая равенство сторон \( KN = AN \), мы можем рассмотреть равнобедренный треугольник \( \triangle AKN \). В этом треугольнике углы при основании равны, поэтому \( \angle KAN = \angle KNA \). Также, так как \( KN = AN \), то углы при вершине также равны: \( \angle AKT = \angle ANT \).

Теперь обратим внимание на треугольники \( \triangle BAK \) и \( \triangle CAN \). У нас есть следующие равенства углов:

1. \( \angle BAK = \angle NAC \) (по условию). 2. \( \angle KAN = \angle KNA \) (в треугольнике \( \triangle AKN \)). 3. \( \angle AKT = \angle ANT \) (в треугольнике \( \triangle AKN \)).

Теперь рассмотрим угол \( \angle BAN \). Он равен сумме углов \( \angle BAK \), \( \angle KAN \) и \( \angle NAC \):

\[ \angle BAN = \angle BAK + \angle KAN + \angle NAC \]

Подставим равенства:

\[ \angle BAN = \angle NAC + \angle KNA + \angle NAC \]

Теперь учтем равенство углов \( \angle KNA = \angle KAN \) и получим:

\[ \angle BAN = \angle NAC + \angle KAN + \angle NAC \]

Так как углы \( \angle KAN \) и \( \angle KNA \) равны, мы можем объединить их:

\[ \angle BAN = \angle NAC + \angle KNA + \angle NAC = \angle NAC + \angle KNA + \angle KAN \]

Теперь воспользуемся равенством углов в треугольнике \( \triangle AKN \):

\[ \angle BAN = \angle NAC + \angle KNA + \angle KAN = \angle NAC + \angle AKT + \angle KAN \]

Теперь подставим равенства углов:

\[ \angle BAN = \angle NAC + \angle AKT + \angle KAN = \angle NAC + \angle ANT + \angle KAN \]

Таким образом, угол \( \angle BAN \) равен сумме углов \( \angle NAC \), \( \angle ANT \) и \( \angle KAN \). Но мы знаем, что углы \( \angle NAC \) и \( \angle BAK \) равны, так что:

\[ \angle BAN = \angle BAK + \angle ANT + \angle KAN \]

Теперь вспомним, что углы при вершинах треугольника равны 180 градусам:

\[ \angle BAN + \angle BAK + \angle B = 180^\circ \]

Подставим равенство углов:

\[ \angle BAK + \angle ANT + \angle KAN + \angle BAK + \angle B = 180^\circ \]

Сократим подобные члены:

\[ 2 \angle BAK + \angle ANT + \angle KAN = 180^\circ \]

Теперь выразим угол \( \angle BAK \) через угол \( \angle ANT \) и \( \angle KAN \):

\[ 2 \angle BAK = 180^\circ - \angle ANT - \angle KAN \]

Разделим обе стороны на 2:

\[ \angle BAK = \frac{180^\circ - \angle ANT - \angle KAN}{2} \]

Теперь мы знаем выражение для угла \( \angle BAK \), и, следовательно, для угла \( \angle BAN \).