Question

В параллелограмме ABCD стороны AD и CD равны 16 см и 13 см. AK и DM - биссектрисы углов A и D соответственно. Найдите MK (в см).

Answer 1

Ответ:

10

Объяснение:

Точки М и К могут лежать только на отрезке ВС и никак иначе, так как в иных случаях на стороне СD или АВ, которые равны 13, должна найтись точка, когда отрезок будет равен 16, что невозможно, тогда точки М и К лежат на В С, тогда получаем равнобедренные треугольники МСD и АВК, МС=13, ВК=13, ВС=16

Тогда МК=10

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся свойством параллелограмма, согласно которому биссектрисы углов параллелограмма делят его диагонали пополам. Таким образом, диагональ AC делится биссектрисой AK на две равные части, и диагональ BD делится биссектрисой DM на две равные части.

Поскольку AK и DM являются биссектрисами, то углы BAK и CDM равны. Также углы A и D параллелограмма равны, поэтому углы BAC и CDA также равны.

Из треугольников BAC и CDA следует, что они являются равнобедренными, так как у них равны основания (стороны AD и CD) и равны углы BAC и CDA. Значит, высоты этих треугольников, проведенные из вершин B и C соответственно, являются биссектрисами.

Обозначим точку пересечения биссектрис AK и DM как точку M. Так как биссектрисы делят диагонали пополам, то AM = MC и BM = MD.

Теперь рассмотрим треугольник ABM. В нем известны стороны AB = 16 см, BM = MD и угол B равен углу MBD, так как AB || CD и AM = MC.

По теореме синусов для треугольника ABM получаем: sin(B) / AB = sin(MBD) / BM.

Подставляем известные значения: sin(B) / 16 = sin(MBD) / BM.

Также из треугольника CDM получаем: sin(D) / CD = sin(MBD) / BM.

Подставляем известные значения: sin(D) / 13 = sin(MBD) / BM.

Теперь мы имеем систему уравнений: sin(B) / 16 = sin(MBD) / BM, sin(D) / 13 = sin(MBD) / BM.

Разделим эти два уравнения друг на друга: (sin(B) / 16) / (sin(D) / 13) = (sin(MBD) / BM) / (sin(MBD) / BM).

Упрощаем: 13sin(B) / 16sin(D) = 1.

Выразим sin(B) через sin(D): sin(B) = (16sin(D)) / 13.

Подставим это значение в первое уравнение системы: (16sin(D)) / 13 / 16 = sin(MBD) / BM.

Упрощаем: sin(D) / 13 = sin(MBD) / BM.

Получаем, что sin(D) / 13 = sin(MBD) / BM, что означает равенство соответствующих сторон в равнобедренных треугольниках BDM и CDM.

Теперь рассмотрим треугольник BDM. В нем известны стороны BD = 16 см, DM = BM и угол D равен углу MBD.

По теореме синусов для треугольника BDM получаем: sin(D) / BD = sin(MBD) / DM.

Подставляем известные значения: sin(D) / 16 = sin(MBD) / BM.

Так как sin(D) / 13 = sin(MBD) / BM, то можем записать: sin(D) / 16 = sin(D) / 13.

Упрощаем: 13sin(D) = 16sin(D).

Так как sin(D) ≠ 0, то можем сократить на sin(D): 13 = 16.

Получили противоречие, что означает, что наше предположение о том, что BM = MD, неверно.

Таким образом, точка M не может существовать, и задача не имеет решения.