Question

На окружности одного основания цилиндра выбраны точки A, B и C, на окружности другого основания - точка C1, CC1 - образующая цилиндра, а отрезок AC1 не пересекает ось цилиндра и образует с плоскостью основания цилиндра угол 30 градусов. Найдите объем цилиндра, если AB=AC=6, угол BAC=60 градусов.

Answer 1

Ответ:

216π куб. ед.

Объяснение:

АВ = АС, ΔАВС - равнобедренный,

∠ВАС = 60°, значит треугольник равносторонний.

Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника:

$R=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

где а - сторона треугольника.

$R=\dfrac{6\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{3}=6$

Из прямоугольного треугольника АСС₁:

$tg\angle C_1AC=\dfrac{CC_1}{AC}$

$CC_1=AC\cdot tg30^\circ=6\sqrt{3}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{3}=6$

Объем цилиндра:

$V=\pi R^2\cdot CC_1$

$\boldsymbol{V}=\pi \cdot 6^2\cdot 6\boldsymbol{=216\pi}$

Answer 2

Давайте обозначим следующие величины:

- \( R \) - радиус окружности основания цилиндра, на которой лежат точки A, B и C. - \( R_1 \) - радиус окружности другого основания, на которой лежит точка C1. - \( h \) - высота цилиндра. - \( AC_1 \) - высота треугольника ABC1 (расстояние от точки C до плоскости основания цилиндра).

Исходя из условий задачи, у нас есть следующие равенства:

1. \( AB = AC = 6 \) (треугольник ABC равнобедренный). 2. \( \angle BAC = 60^\circ \).

Из условия \( AC_1 \) не пересекает ось цилиндра и образует угол 30 градусов с плоскостью основания цилиндра, можно заключить, что треугольник ABC1 - прямоугольный треугольник, и угол \( \angle CAC_1 = 90^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, угол \( \angle ABC = \angle BAC = 60^\circ \). Также, учитывая, что \( AC = 6 \), мы можем использовать косинус угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \cos(60^\circ) = \frac{AC_1}{AC} \]

\[ \cos(60^\circ) = \frac{AC_1}{6} \]

\[ AC_1 = 6 \cdot \cos(60^\circ) \]

Теперь, мы можем найти высоту цилиндра \( h \) с помощью сходства треугольников ABC и AC1C:

\[ \frac{h}{AC_1} = \frac{AB}{AC} \]

\[ h = AC_1 \cdot \frac{AB}{AC} \]

Теперь мы можем выразить объем цилиндра \( V \):

\[ V = \pi R^2 h \]

Подставим значения:

\[ V = \pi R^2 \cdot AC_1 \cdot \frac{AB}{AC} \]

\[ V = \pi R^2 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) \cdot \frac{6}{6} \]

Теперь у нас есть выражение для объема цилиндра. Мы можем вычислить числовое значение, используя \( \pi \approx 3.14159 \), и решить уравнение.