Question

диагонали основ правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 6 и 2 см, а двугранный угол при ребре большего основания - 60 град. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды​

Answer 1

Ответ:

32 cм²

Объяснение:

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему:

Sбок= 1/2*(Р1+Р2)*L,

где Р1 и Р2 - периметры оснований пирамиды, L - апофема (высота боковой грани правильной усеченной пирамиды)

Найдём сто­роны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды.

Диагональ квадрата: d = a√2, где а  - сторона квадрата.

⇒ а = d/√2

АД = 6/√2 = 3√2, А1Д1= 2/√2 = √2.

Р1=4*АД= 4 * 3√2 = 12√2 см - периметр верхнего основания.

Р2=4*А1Д1=4√2 см - периметр нижнего основания пирамиды.

Найдем апофему L

Основания усеченной пирамиды - квадраты. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОМ⊥ДС и О1М1⊥Д1С1. ОМ и О1М1 - радиусы вписанных окружностей в основания.

Т.к. r=a /2 (половина стороны основания), то  

О1М1= А1Д1/2 =  $\frac{\sqrt{2} }{2}$

ОМ = АД/2 =   $\frac{3\sqrt{2} }{2}$

Опустим перпендикуляр М1К из точки М1 верхнего основания  на нижнее основание. Получим прямоугольный ΔМ1КМ.

Т.к. М1К⊥КМ, КМ⊥ДС,  то М1М⊥ДС ( по теореме о трёх перпендикулярах) ⇒∠М1МК = 60° (это данный нам линейный угол двугранного угла при ребре большего основания).

КМ = разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть КМ = ОМ-О1М1=   $\frac{3\sqrt{2} }{2}$ - $\frac{\sqrt{2} }{2}$ = $\sqrt{2}$ см.

Тогда гипотенуза (апофема) L = ММ1 = КМ / cos 60° = $\sqrt{2}$ : $\frac{1}{2}$ = 2$\sqrt{2}$ cм

Sбок = $\frac{1}{2}$ * ( 12$\sqrt{2}$ + 4$\sqrt{2}$ ) * 2$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ (12+4) $\sqrt{2}$ = 2*16=32 cм²

Answer 2

Давайте обозначим данную усеченную пирамиду. Пусть \(ABCD\) - верхнее основание, \(EFGH\) - нижнее основание. Пусть \(M\) и \(N\) - середины рёбер \(BC\) и \(GF\), соответственно. Также пусть \(P\) и \(Q\) - середины диагоналей \(AC\) и \(EH\).

Из условия мы знаем, что длина диагоналей основ \(ABCD\) равны 6 и 2 см, соответственно. Пусть \(2a\) - длина диагонали большего основания (\(AC\)), а \(2b\) - длина диагонали меньшего основания (\(EH\)). Тогда:

\[2a = 6 \quad \Rightarrow \quad a = 3 \, \text{см},\] \[2b = 2 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \, \text{см}.\]

Мы также знаем, что двугранный угол при ребре большего основания равен 60 градусам. Это означает, что треугольник \(ABC\) равносторонний, так как угол при основании треугольной пирамиды равен 60 градусам.

Теперь рассмотрим треугольник \(ABC\). У нас есть равносторонний треугольник, и мы знаем, что у него все стороны равны \(3\) см. Теперь мы можем использовать свойство равностороннего треугольника, чтобы найти высоту этой пирамиды (расстояние от вершины \(A\) до плоскости основания \(BCDE\)).

Высота равностороннего треугольника:

\[h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 3 \, \text{см} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см}.\]

Теперь мы можем рассмотреть боковую поверхность пирамиды. Эта поверхность состоит из четырех треугольных граней. Площадь одного треугольника можно найти, используя формулу:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}.\]

В данном случае основание треугольника - это длина ребра пирамиды, а высота - это ранее найденная высота \(h\).

Таким образом, площадь одного треугольника боковой поверхности:

\[S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \cdot 3 \, \text{см} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} \, \text{см} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2.\]

Так как у нас четыре таких треугольника, общая площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{боковой поверхности}} = 4 \cdot S_{\text{треугольника}} = 4 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{см}^2 = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2.\]

Таким образом, площадь боковой поверхности усеченной пирамиды равна \(9\sqrt{3} \, \text{см}^2\).