Question

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС= 20, соs A =0,8. Найдите высоту СН

Answer 1

Ответ:

Высота СН=16 ед

Объяснение:

В треугольнике АВС угол С равен 90°, ВС= 20, соs A =0,8. Найдите высоту СН .

ТЕОРИЯ

• Основное тригонометрическое тождество: Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

sin²α+cos²α=1

• Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла:

$\bf tg \alpha =\dfrac{sin\alpha }{cos \alpha }$

• Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

• Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

• Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к прилежащему.

РЕШЕНИЕ

1) Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС (∠С=90°).

Так как

$tg \angle A =\dfrac{BC}{AC}$ , то

$AC = \dfrac{BC}{tg\angle A}$

Используя определение тангенса и основное тригонометрическое тождество   имеем:

$tg \angle A=\dfrac{sin\angle A }{cos\angle A} =\dfrac{\sqrt{1-cos^2\angle A} }{cos\angle A} =\dfrac{\sqrt{1-0,8^2} }{0,8} =\\\\\\=\dfrac{\sqrt{1-0,64} }{0,8} =\dfrac{\sqrt{0,36} }{0,8} =\dfrac{0,6}{0,8} =\dfrac{6}{8} =\bf \dfrac{3}{4}$

Тогда

$AC = \dfrac{20}{\frac{3}{4} } =\dfrac{20\cdot 4 }{3} =\bf \dfrac{80}{3}$

2) Так как СН - высота, то СН⊥АВ. ΔАСН - прямоугольный, ∠Н=90°)

$sin\angle A=\dfrac{CH}{AC}$, ⇒

$CH=AC\cdot sin\angle A=AC \cdot \sqrt{1-cos^2\angle A} =\dfrac{80}{3}\cdot \sqrt{1-0,8^2}=\\\\\\\=\dfrac{80}{3}\cdot \sqrt{1-0,64}=\dfrac{80}{3}\cdot \sqrt{0.36}=\dfrac{80\cdot 0,6}{3} =\dfrac{48}{3} =\bf 16$

ОТВЕТ: Высота СН = 16 ед.

#SPJ3