Question

В треугольнике два угла равны 60 и 45 градусов, а сторона, лежащая против меньшего из них, равна 7 корней из 2-ух см. Найди сторону, лежащую против большего из данных углов.

Answer 1

Ответ:

Вот

Объяснение:

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся тригонометрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике. Поскольку у нас есть два угла и одна сторона, мы можем использовать теорему синусов.

Обозначим углы треугольника буквами \(A\), \(B\), и \(C\), а стороны \(a\), \(b\), и \(c\), где \(a\), \(b\) — катеты, а \(c\) — гипотенуза. В данной задаче у нас есть углы \(60^\circ\) и \(45^\circ\).

1. Выбор угла и стороны: Пусть \(C\) — угол, лежащий против стороны \(c\) (гипотенузы). Угол \(B\) — угол, лежащий против стороны \(b\), равной \(7\sqrt{2}\) см.

2. Запись известных данных: \[ B = 45^\circ, \quad C = 60^\circ, \quad b = 7\sqrt{2} \ \text{см} \]

3. Найдем угол \(A\): Из суммы углов треугольника следует, что \(A = 180^\circ - B - C\). \[ A = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ \]

4. Теорема синусов: В прямоугольных треугольниках теорема синусов имеет следующий вид: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

5. Находим сторону \(a\): \[ a = c \cdot \sin A \]

Поскольку \(c\) (гипотенуза) — сторона, лежащая против угла \(C\), и угол \(C\) равен \(60^\circ\), мы имеем: \[ c = 7\sqrt{2} \ \text{см}, \quad A = 75^\circ \]

Подставляем значения: \[ a = 7\sqrt{2} \cdot \sin 75^\circ \]

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для угла суммы: \[ \sin (A+B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B \]

Применяем: \[ \sin 75^\circ = \sin (45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cdot \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \cdot \sin 30^\circ \]

Подставляем известные значения для углов: \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \]

Упрощаем: \[ \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Теперь можем найти \(a\): \[ a = 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

Упрощаем: \[ a = \frac{7}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \ \text{см} \]

Таким образом, сторона \(a\) (лежащая против угла \(A\)) равна \(\frac{7}{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})\) см.