Question

В параллелограмме ABCD проведены диагонали AC и BD. Сторона АВ равна 2, угол CAD = 30, угол АВС = 105. Найдите ВС​

Answer 1

Ответ:

Дано: АВСD - параллелограмм.

<ABC = 105°, <CAD = 30°, AB = 2 ед.

Тогда <BAD = 180-105 = 75° (сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°), а <BAC=75-30 = 45°.

Опустим перпендикуляр ВН на диагональ АС. Тогда в прямоугольном треугольнике АВН острые углы равны по 45° и катеты

ВН = АН = √2 ед.

В треугольнике ВНС угол

<НВС = 105-45=60°, a <BCH = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника =90°).

Против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. =>

ВС = 2√2 ед.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма.

1. Так как сторона AB параллельна стороне CD, то угол ABC равен 180° - 105° = 75° (сумма углов при вершине параллелограмма равна 180°).

2. Также угол ACD равен 180° - 30° = 150° (сумма углов при вершине параллелограмма равна 180°).

3. Поскольку диагонали AC и BD пересекаются в точке O, угол AOC равен половине суммы углов ADC и ABC, то есть (150° + 75°) / 2 = 225° / 2 = 112.5°.

4. Так как угол AOC равен 112.5°, то угол BOC равен 180° - 112.5° = 67.5° (сумма углов при вершине параллелограмма равна 180°).

5. Заметим, что треугольник BOC является равнобедренным, так как угол BCO равен углу BOC = 67.5°, а угол OCB равен углу OBC = 67.5°.

6. Таким образом, треугольник BOC является равнобедренным с основанием BC и равными боковыми сторонами BO и CO.

7. Из свойств равнобедренного треугольника следует, что BO = CO.

8. Так как BO = CO, то треугольник BOC является равносторонним.

9. В связи с этим, сторона BC равна стороне BO, то есть BC = BO.

10. Так как сторона AB равна 2, а сторона BC равна BO, то BC = 2.

Таким образом, сторона ВС равна 2.