Question

Заданы точки A(8, 1, 7), B(9, 7, 4), C(6, 16, 4), D(1, 7, 4). Найти: 5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими плоскостями; 6) площадь треугольника BCD; 7) расстояние от точки B до плоскости ACD; 8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость; 9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

Answer 1

Заданы точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4). Найти:

5) уравнения плоскостей ABC , ABD и угол между этими

плоскостями;  

6) площадь треугольника BCD;  

7) расстояние от точки B до плоскости ACD;  

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость;

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

5) Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные для плоскости АВС и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 6 - 8            16 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -2                  15                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·15) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-2)) + (z – 7)(1·15-6·(-2)) = 0

27(x – 8) + 9(y – 1) + 27(z – 7) = 0

27x + 9y + 27z - 414 = 0, сократив на 9, получаем:

3x + y + 3z - 46 = 0

Ответ: уравнение плоскости АВС 3x + y + 3z - 46 = 0.

Аналогично подставляем данные для плоскости ABD.

A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                z - 7

 9 - 8              7 – 1               4 - 7

 1 - 8              7 – 1               4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    1                   6                    -3

   -7                   6                   -3 = 0

(x – 8)(6·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)(1·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)(1·6-6·(-7)) = 0

0(x – 8) + 24(y – 1) + 48(z – 7) = 0

0x + 24y + 48z - 360 = 0, сократив на 12, получаем

2y + 4z - 30 = 0.

Ответ: уравнение плоскости АВD 2y + 4z - 30 = 0.

Вычислим угол между плоскостями

3x + y + 3z - 46 = 0 и

2y + 4z - 30 = 0.

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A1² + B1² + C1²)*√(A2² + B2² + C2²))

cos α = |3·0 + 1·2 + 3·4|/(√(3² + 1² + 3²)*√(0² + 2² + 4²)) =

= |0 + 2 + 12|/(√(9 + 1 + 9)*√(0 + 4 + 16)) =

= 14/(√19*√20) = 14/√380 = 7√95/95 ≈ 0,71819.

α = 44,09518°.

6) Найдем площадь грани ВСD с учётом геометрического смысла векторного произведения:

 S=1/2*□((BC) ⃗*(BD) ⃗ ).

Находим вектор ВC.  

ВC = C(6; 16; 4) - В(9; 7; 4) = (-3; 9; 0).

Находим вектор ВD.  

ВD = D(1; 7; 4) - В(9; 7; 4) = (-8; 0; 0).

Векторное произведение:

  i      j       k

-3   9     0

-8   0  0  = i(9·0-0·0) - j((-3)·0-0·(-8)) + k((-3)·0-9·(-8)) =

                   =0i + 0j + 72k.

Получен нормальный вектор плоскости BCD, равный (0; 0; 72).

Площадь грани BCD равна половине модуля векторного произведения.

S(BCD) = (1/2)√(0² + 0² + 72²) = (1/2)√(0 + 0 + 5184) = (1/2)*72 = 36 кв. ед.

7) ) Чтобы найти расстояние от точки B до плоскости ACD, сначала определяем уравнение плоскости ACD.

Подставим данные для плоскости АCD и упростим выражение:  

A(8; 1; 7), C(6; 16; 4), D(1; 7; 4).

  x - 8             y – 1                 z - 7

 6 - 8              16 – 1               4 - 7

 1 - 8               7 – 1                4 - 7 = 0

  x - 8             y – 1                z - 7

    -2                15                    -3

   -7                  6                     -3 = 0

(x – 8)(15·(-3)-(-3)·6) – (y – 1)((-2)·(-3)-(-3)·(-7)) + (z – 7)((-2)·6-15·(-7)) = 0

(-27)(x – 8) + 15(y – 1) + 93(z – 7) = 0

(-27)x + 15y + 93z - 450 = 0, сократив на (-3), получаем:

уравнение плоскости ACD 9x - 5y - 31z + 150 = 0.

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:  

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²).

Подставим в формулу данные:

d = |9·9 + (-5)·7 + (-31)·4 + 150|/√(9² + (-5)² + (-31)²) =  

= |81 - 35 - 124 + 150|/√(81 + 25 + 961) =

= 72/√1067 = 72√1067/1067 ≈ 2,2042.

8) канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекцию точки A на эту плоскость.

Точка E - это проекция точки A на плоскость BCD.  

Уравнение плоскости BCD определим по ранее найденному нормальному вектору плоскости BCD (0; 0; 72) и точке В(9; 7; 4).

Нормальный вектор этой плоскости является направляющим вектором перпендикуляра к плоскости.

Сначала по этим данным определяем уравнение плоскости BCD.

(x – 9)*0 + (y – 7)*0 + (z – 4)*72 = 0,

72z – 288 = 0, сократив на 72, получаем:

уравнение плоскости BCD z – 4 = 0

Из этих же данных получаем уравнение перпендикуляра из точки А(8; 1; 7).

((x - 8)/0 = (y - 1)/0 = ((z – 7)/72.

Так как плоскость BCD имеет все точки с равными значениями аппликат (z = 4), то и проекция точки А на эту плоскость тоже будет иметь эту же координату по оси Оz.

Получаем проекцию E точки А на плоскость BCD:

E(8; 1; 4).

9) параметрические уравнения прямой DM , где M — точка пересечения

медиан треугольника ABC.

Находим координаты точки М как среднее арифметическое координат вершин треугольника АВС.

Точки A(8; 1; 7), B(9; 7; 4), C(6; 16; 4).

М = ((8+9+6)/3; (1+7+16)/3; (7+4+4)/3) = (23/3; 8; 5).

Находим вектор DM.  

DM = M((23/3); 8; 5) - D(1; 7; 4) = (20/3; 1; 1).

По этому направляющему вектору и точке D(1; 7; 4) сотавляем каноническое уравнение прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = (y – 7)/8 = (z – 4)/5.

Приравняем эти равенства параметру t и получаем параметрические уравнения прямой DM.

(x – 1)/(20/3) = t, x = (20/3)t + 1.

(y – 7)/8 = t,        y = 8t + 7.

(z – 4)/5 = t,        z = 5t + 4.

Answer 2

5) Уравнения плоскостей ABC, ABD и угол между этими плоскостями

Для определения уравнений плоскостей ABC и ABD, мы можем использовать формулу плоскости, которая определяется через векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

Уравнение плоскости ABC: 1. Найдем векторы AB и AC: AB = B - A = (9, 7, 4) - (8, 1, 7) = (1, 6, -3) AC = C - A = (6, 16, 4) - (8, 1, 7) = (-2, 15, -3)

2. Найдем векторное произведение векторов AB и AC: N_ABC = AB x AC = (1, 6, -3) x (-2, 15, -3) = (-57, -3, 27)

3. Уравнение плоскости ABC: -57x - 3y + 27z + d = 0

Уравнение плоскости ABD: 1. Найдем векторы AB и AD: AB = B - A = (9, 7, 4) - (8, 1, 7) = (1, 6, -3) AD = D - A = (1, 7, 4) - (8, 1, 7) = (-7, 6, -3)

2. Найдем векторное произведение векторов AB и AD: N_ABD = AB x AD = (1, 6, -3) x (-7, 6, -3) = (0, 0, 0)

Заметим, что векторное произведение равно нулю, что означает, что векторы AB и AD коллинеарны и лежат в одной плоскости. Это означает, что плоскость ABD вырожденная и ее уравнение будет иметь вид 0 = 0.

Угол между плоскостями ABC и ABD: Так как плоскость ABD вырожденная, то угол между плоскостями ABC и ABD не определяется.

6) Площадь треугольника BCD

Для вычисления площади треугольника BCD, мы можем использовать формулу площади треугольника, которая определяется через длины его сторон.

1. Найдем длины сторон треугольника BCD: BC = ||C - B|| = ||(6, 16, 4) - (9, 7, 4)|| = ||(-3, 9, 0)|| = √((-3)^2 + 9^2 + 0^2) = √90 ≈ 9.49 CD = ||D - C|| = ||(1, 7, 4) - (6, 16, 4)|| = ||(-5, -9, 0)|| = √((-5)^2 + (-9)^2 + 0^2) = √106 ≈ 10.30 BD = ||D - B|| = ||(1, 7, 4) - (9, 7, 4)|| = ||(-8, 0, 0)|| = √((-8)^2 + 0^2 + 0^2) = 8

2. Используем формулу Герона для вычисления площади треугольника: s = (BC + CD + BD) / 2 = (9.49 + 10.30 + 8) / 2 ≈ 13.89 S_BCD = √(s * (s - BC) * (s - CD) * (s - BD)) = √(13.89 * (13.89 - 9.49) * (13.89 - 10.30) * (13.89 - 8)) ≈ 20.33

Таким образом, площадь треугольника BCD равна примерно 20.33 квадратных единиц.

7) Расстояние от точки B до плоскости ACD

Для определения расстояния от точки B до плоскости ACD, мы можем использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

1. Найдем уравнение плоскости ACD, используя точки A, C и D: AC = C - A = (6, 16, 4) - (8, 1, 7) = (-2, 15, -3) AD = D - A = (1, 7, 4) - (8, 1, 7) = (-7, 6, -3)

Найдем векторное произведение векторов AC и AD: N_ACD = AC x AD = (-2, 15, -3) x (-7, 6, -3) = (-57, -3, 27)

Уравнение плоскости ACD: -57x - 3y + 27z + d = 0

2. Используем формулу расстояния от точки до плоскости: Расстояние от точки B до плоскости ACD = |(-57 * xB - 3 * yB + 27 * zB + d) / √((-57)^2 + (-3)^2 + 27^2)|

Подставим координаты точки B (9, 7, 4) в формулу: Расстояние = |(-57 * 9 - 3 * 7 + 27 * 4 + d) / √((-57)^2 + (-3)^2 + 27^2)|

Расстояние = |(-513 - 21 + 108 + d) / √(3249 + 9 + 729)| = |(-426 + d) / √3987|

Таким образом, расстояние от точки B до плоскости ACD равно |(-426 + d) / √3987|.

8) Канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, и проекция точки A на эту плоскость

Для определения канонических уравнений перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, мы можем использовать формулу перпендикуляра, которая определяется через вектор нормали плоскости BCD.

1. Найдем вектор нормали плоскости BCD, используя уравнение плоскости BCD: -57x - 3y + 27z + d = 0

Вектор нормали плоскости BCD: n_BCD = (-57, -3, 27)

2. Каноническое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD: (x - xA) / n_BCD.x = (y - yA) / n_BCD.y = (z - zA) / n_BCD.z

Подставим координаты точки A (8, 1, 7) и вектор нормали n_BCD (-57, -3, 27) в уравнение: (x - 8) / -57 = (y - 1) / -3 = (z - 7) / 27

Таким образом, каноническое уравнение перпендикуляра, проведенного из точки A на плоскость BCD, имеет вид: (x - 8) / -57 = (y - 1) / -3 = (z - 7) / 27

3. Проекция точки A на плоскость BCD: