Question

Две окружности радиусами 36 и 49 касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей касательной, заключенного между точками касания.​

Answer 1

Точка касания С лежит на линии центров O₁O₂

MC⊥O₁O₂ (касательная перпендикулярна радиусу)

MA=MC=MB (отрезки касательных из одной точки)

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

MO₁ и  MO₂ - биссектрисы

∠O₁MO₂=90° (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)

Высота из прямого угла равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.

MC=√(O₁C · O₂C) =√(36·49) =42

AB=2MC =84

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство касательных к окружностям.

Когда две окружности касаются внешним образом, линия, соединяющая центры окружностей, будет перпендикулярна к общей касательной, а также проходить через точку касания.

Давайте обозначим центры окружностей как O1 и O2, радиусы как r1 = 36 и r2 = 49 соответственно.

Так как линия, соединяющая центры окружностей, перпендикулярна к общей касательной, мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину этой линии.

Расстояние между центрами окружностей можно найти с помощью формулы расстояния между двумя точками в прямоугольной системе координат:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты центров окружностей.

В данном случае, линия, соединяющая центры окружностей, будет вертикальной линией, так как окружности касаются внешним образом. Поэтому, координаты центров окружностей будут (0, -r1) и (0, r2).

Подставим значения в формулу:

d = √((0 - 0)^2 + (r2 - (-r1))^2) = √(0 + (r2 + r1)^2) = √((r2 + r1)^2)

Теперь мы можем найти длину отрезка общей касательной, заключенного между точками касания, используя теорему Пифагора:

l = √((d - r1)^2 - r1^2) + √((d - r2)^2 - r2^2)

Подставим значение d в формулу:

l = √((r2 + r1)^2 - r1^2) + √((r2 + r1)^2 - r2^2)

Теперь давайте вычислим эту формулу для заданных радиусов:

l = √((49 + 36)^2 - 36^2) + √((49 + 36)^2 - 49^2) = √(85^2 - 36^2) + √(85^2 - 49^2) = √(7225 - 1296) + √(7225 - 2401) = √5929 + √4824 = 77 + 69.5 = 146.5

Таким образом, длина отрезка общей касательной, заключенного между точками касания, составляет 146.5 единицы длины.