Question

Две окружности радиусами 36 и 49 касаются внешним образом. Найдите длину отрезка их общей касательной, заключенного между точками касания.​

Answer 1

Точка касания С лежит на линии центров O₁O₂

MC⊥O₁O₂ (касательная перпендикулярна радиусу)

MA=MC=MB (отрезки касательных из одной точки)

Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла.

MO₁ и  MO₂ - биссектрисы

∠O₁MO₂=90° (биссектрисы смежных углов перпендикулярны)

Высота из прямого угла равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу.

MC=√(O₁C · O₂C) =√(36·49) =42

AB=2MC =84

Answer 2

Для начала, обозначим центры окружностей как O1 и O2, а точки касания с общей касательной как A и B. Также обозначим точку пересечения прямой O1O2 с общей касательной как C.

Из условия задачи следует, что отрезок OA - общая касательная к окружностям с радиусами 36 и 49. Поэтому OA является перпендикуляром к общей касательной.

Также, поскольку окружности касаются внешним образом, то линия, соединяющая центры окружностей O1 и O2, будет перпендикулярна общей касательной в точке C.

Используя свойства прямоугольного треугольника O1CO2, мы можем найти длину отрезка OC. Для этого применим теорему Пифагора:

OC^2 = O1C^2 + O2C^2

Так как O1C = 36 и O2C = 49, мы можем подставить значения и найти длину отрезка OC:

OC^2 = 36^2 + 49^2 OC^2 = 1296 + 2401 OC^2 = 3697

Теперь найдем длину отрезка OA, используя теорему Пифагора:

OA^2 = OC^2 + AC^2

Так как AC = 36 (так как это радиус первой окружности), мы можем подставить значения и найти длину отрезка OA:

OA^2 = 3697 + 36^2 OA^2 = 3697 + 1296 OA^2 = 4993

Таким образом, длина отрезка OA равна √4993.

Окончательно, длина отрезка AB - это двойная длина отрезка OA. Поэтому, длина отрезка AB равна 2 * √4993.