Question

Помогите, пожалуйста, решить задачу по геометрии, 7 класс. Надо хотя бы краткое доказательство. Точка, равноудаленная от вершин треугольника, лежит во внешней стороне одного из его углов. Докажите, что этот треугольник - тупоугольный.Окружности ещё не проходили.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Пусть эта самая точка - D и пусть угол ABC все таки не тупой, тогда он не больше 90 градусов.

По условию AD = BD = DC, тогда треугольники BDC и ADB - равнобедренные, тогда угол DBC равен углу DCB, аналогично угол DBA равен углу DAB. Пусть угол DBC равен углу DCB равен x, а угол DBA равен углу DAB равен y. Тогда угол ABC по предположению не тупой, тогда x + y не больше 90. Заметим, что угол BAC меньше, чем BAD, тогда угол BAC < y, аналогично угол BCA меньше, чем угол BCD, значит угол BCA < x, но тогда сумма углов BAC и BCA меньше, чем x + y, а значит меньше 90 градусов. Но тогда в треугольнике ABC угол сумма углов меньше, чем 2x + 2y, но тогда она меньше 180, хотя должна быть равна 180. Противоречие, значит исходное предположение неверно и угол ABC - тупой. ч.т.д.

P.s. Небольшое пояснения почему угол BAC меньше, чем BAD и почему угол BCA меньше, чем угол BCD. Это так, потому что наша точка D по условию лежит вне треугольника, а значит отрезки AD и CD проходят за границами.

Answer 2

Задача: Точка, равноудаленная от вершин треугольника, лежит во внешней стороне одного из его углов. Докажите, что этот треугольник - тупоугольный.

Для доказательства этой задачи, мы можем использовать свойство равноудаленных точек от вершин треугольника.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть треугольник ABC, и точка P, которая равноудалена от его вершин. Пусть точка P лежит во внешней стороне угла BAC.

Мы знаем, что если точка равноудалена от двух вершин треугольника, то она лежит на биссектрисе угла, образованного этими вершинами.

Таким образом, точка P лежит на биссектрисе угла BAC.

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1: Если точка P лежит на продолжении биссектрисы угла BAC за вершину A, то угол BAC является тупым углом. Это происходит потому, что внешний угол треугольника больше любого из его внутренних углов.

Случай 2: Если точка P лежит на продолжении биссектрисы угла BAC между вершинами A и C, то угол BAC является остроугольным углом. Это происходит потому, что внутренний угол треугольника меньше любого из его внешних углов.

Таким образом, в обоих случаях угол BAC не может быть прямым углом, так как точка P лежит во внешней стороне угла BAC.

Следовательно, треугольник ABC является тупоугольным.

Ответ: Треугольник, в котором точка, равноудаленная от вершин, лежит во внешней стороне одного из его углов, является тупоугольным треугольником.

*Примечание: Данное доказательство основано на свойствах равноудаленных точек от вершин треугольника. Если вам нужно более подробное или формальное доказательство, рекомендуется обратиться к учебнику геометрии или проконсультироваться с учителем.*