Question

Помогите с геомой! Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Высота пирамиды проходит через точку D; M-середина ребра SC; Угол между прямыми AM и BC равен 60 градусов. a) Докажите что SD:CD = корень из 11 б) Найдите расстояние до точки D до плоскости ABS, если сторона остования пирамиды равна 4 корней из 33. С РИСУНКОМ

Answer 1

Ответ:

$\boxed{\rho(D,ABS) = 22}$

Объяснение:

Дано: SABCD - пирамида, ABCD - квадрат , SD ⊥ ABC, ∠(AM,BC) = 60°, $AD = 4\sqrt{33}$, SM = MC

Доказать: $SD:CD = \sqrt{11}$

Найти: $\rho(D,ABS) \ - \ ?$

Решение:

По теореме если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, которая не принадлежит первой прямой, то данные прямые скрещивающиеся, так как $BC \subset ABC$ и $(AM \cap ABC) \notin BC$прямые AM и BC -  cкрещивающиеся.

По определению угол между скрещивающимися прямыми это угол между прямыми которые пересекаются и соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Так как по условию ABCD - квадрат, то по свойствам квадрата его противоположные стороны параллельны, тогда BC║AD. Так как BC║AD и прямые AM и DA имеют общую точку A, то по определению угла между скрещивающимися прямыми:

∠(AM,BC) = ∠(AM,AD) = 60°.

По теореме если прямая перпендикулярна к двум прямым, которые лежат в этой плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к этой плоскости, тогда AD ⊥ SCD, так как по условию ABCD квадрат, то по определению квадрата все его углы равны 90°, то есть

AD ⊥ CD и по условию SD ⊥ ABC, тогда по определению перпендикулярности прямой к плоскости, так как AD ⊂ ABC, то

SD ⊥ AD и CD ∩ SD = D.

Проведем отрезок MD.

По определению прямая перпендикулярная к плоскости перпендикулярна к любой прямой лежащей в этой плоскости, то так как AD ⊥ SCD и MD ⊂ SCD, то AD ⊥ MD, следовательно треугольник ΔMAD - прямоугольный.

По определению угол между прямыми принадлежит промежутку от 0° до 90° включительно, так как треугольник треугольник ΔMAD - прямоугольный, то угол ∠MAD < 90°, тогда ∠(AM,AD) = ∠MAD = 60°.

Пусть AD = x, тогда ВС = DC = AB = x, так как по свойствам квадрата все его стороны равны и по условию ABCD - квадрат.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMAD :

$\rm tg \ \angle MAD = \dfrac{MD}{AD} \Longrightarrow MD = AD \cdot tg \ \angle MAD = x \cdot tg \ 60^{\circ} = x\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSCD (SD ⊥ CD). Так как по условию SM = MC, то по определению MD - медиана. По свойствам прямоугольного треугольника медиана проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, то есть CM = MS = MD = $x\sqrt{3}$.

По основному свойству отрезка:$CS = CM + MS = x\sqrt{3} + x\sqrt{3} = 2x\sqrt{3}$.

По теореме Пифагора:

$SD = \sqrt{CS^{2} - CD^{2}} = \sqrt{(2x\sqrt{3} )^{2} - x^{2}} = \sqrt{12x^{2} - x^{2} } = \sqrt{11x^{2} } =x\sqrt{11}$.

$\dfrac{SD}{CD} = \dfrac{x\sqrt{11} }{x} = \sqrt{11} \Longleftrightarrow SD : CD = \sqrt{11}$.

По теореме о трех перпендикулярах AS ⊥ AB, так как AD ⊥ AB (по определению квадрата (ABCD) все его углы равны 90° ), SD ⊥ AD и отрезок AD - проекция отрезка AS на плоскость ABC в прямоугольном треугольнике ΔSAD.  

Так как A ∈ (SAB,SAD) и S ∈ (SAB,SAD), то по аксиоме стереометрии плоскость SAD ∩ SAB = AS.

По теореме если прямая перпендикулярна к двум прямым, которые лежат в этой плоскости и пересекаются, то она перпендикулярна к этой плоскости, тогда AB ⊥ DAS, так как по условию по условию ABCD квадрат, то по определению квадрата все его углы равны 90°, то есть AB ⊥ DA и по теореме о трех перпендикулярах AB ⊥ AS и

AD ∩ SA = A.

По теореме если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную ко второй плоскости, то эти плоскости перпендикулярны, так как AB ⊥ DAS и AB ⊂ SAB, то SAD ⊥ SAB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSAD (SD ⊥ AD). Из точки D проведем высоту к гипотенузе в точку K, то есть DK ⊥ AS.

По теореме если две плоскости перпендикулярны, то прямая, проведенная в одной плоскости перпендикулярна к прямой пересечения плоскостей, является перпендикулярной ко второй плоскости, тогда так как SAD ⊥ SAB, SAD ∩ SAB = AS и DK ⊥ AS по построению, то DK ⊥ SAB.

По определению расстояние от точки до плоскости есть перпендикуляр проведенной от этой точки к данной плоскости, тогда $\boxed{\rho(D,ABS) = DK}$, так как DK ⊥ SAB.

Так как x = AD, то по условию $x = 4\sqrt{33}$, тогда:

$SD = x\sqrt{11} = 4\sqrt{33} \cdot \sqrt{11} = 44\sqrt{3}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔSAD.

По теореме Пифагора: $AS = \sqrt{AD^{2} + SD^{2}} = \sqrt{(4\sqrt{33})^{2} + (44\sqrt{3} )^{2}} = \sqrt{528 + 5808} = \sqrt{6336} =$

$= 24\sqrt{11} .$

По формулам площади для треугольника ΔSAD составим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{ S_{зABC} = \dfrac{AD \cdot SD}{2} } \atop {S_{зABC} = \dfrac{KD \cdot AS}{2}}} \right \Longrightarrow \boxed{\dfrac{AD \cdot SD}{2} = \dfrac{KD \cdot AS}{2}}$

$\dfrac{AD \cdot SD}{2} = \dfrac{KD \cdot AS}{2} \bigg |\cdot 2$

$AD \cdot SD = KD \cdot AS \Longrightarrow KD = \dfrac{AD \cdot SD}{AS} = \dfrac{4\sqrt{33} \cdot 44\sqrt{3}}{24\sqrt{11} } = \dfrac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{11} \cdot 44\sqrt{3}}{24\sqrt{11}} =$

$= \dfrac{4 \cdot 44 \cdot 3}{4 \cdot 6} = \dfrac{11 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 11 \cdot 2 = 22$.

Answer 2

Problem Analysis

To solve this geometry problem, we need to use the given information about the pyramid SABCD and apply geometric principles to find the required values. Let's break down the problem into two parts:

a) Prove that SD:CD = √11 b) Find the distance from point D to the plane ABS.

Solution

a) To prove that SD:CD = √11, we can use the concept of similar triangles. Let's consider triangle SCD and triangle SMD.

1. Triangle SCD is similar to triangle SMD because they share an angle at S and have a common side SM. 2. The angle between lines AM and BC is given as 60 degrees, which means the angle between lines SM and CD is also 60 degrees. 3. Since triangle SCD and triangle SMD are similar, the ratio of their corresponding sides will be equal.

Let's denote the length of SD as x. Then, the length of CD will be 2x (since M is the midpoint of SC).

Using the ratio of corresponding sides, we can set up the following equation:

SD/CD = SM/CM

Substituting the values, we get:

x/2x = √3/1

Simplifying the equation, we find:

1/2 = √3/1

Cross-multiplying, we get:

√3 = 2

Squaring both sides, we find:

3 = 4

Since the equation is not true, our assumption that SD:CD = √11 is incorrect. Therefore, we cannot prove that SD:CD = √11.

b) To find the distance from point D to the plane ABS, we can use the formula for the distance between a point and a plane. The formula is given by:

Distance = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)

Where (a, b, c) is the normal vector to the plane ABS, and (x, y, z) are the coordinates of point D.

To find the normal vector, we can take the cross product of vectors AB and AS. Let's denote the coordinates of point A as (0, 0, 0), point B as (a, 0, 0), and point S as (0, a, 0).

The vector AB is given by (a, 0, 0), and the vector AS is given by (0, a, h), where h is the height of the pyramid.

Taking the cross product of AB and AS, we get:

AB x AS = (0, 0, a^2)

Therefore, the normal vector to the plane ABS is (0, 0, a^2).

Substituting the values into the distance formula, we have:

Distance = |0*x + 0*y + a^2*z + d| / √(0^2 + 0^2 + a^4)

Simplifying further, we get:

Distance = |a^2*z + d| / a^2

Since the side length of the base of the pyramid is given as 4√33, the value of a is 4√33.

Substituting this value into the equation, we have:

Distance = |(4√33)^2*z + d| / (4√33)^2

Simplifying, we get:

Distance = |132z + d| / 132

Unfortunately, without additional information about the coordinates of point D or the equation of the plane ABS, we cannot determine the exact distance from point D to the plane ABS.

Conclusion

In conclusion, we have solved the given geometry problem by attempting to prove that SD:CD = √11 and finding the distance from point D to the plane ABS. However, we were unable to prove the given ratio and determine the exact distance due to insufficient information.