Question

50 баллов! Найдите площадь круга, ограниченного окружностью, если площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности, на 63√3 -42 больше площади правильного четырехугольника, вписанного в эту же окружность.сделать рисунок

Answer 1

Ответ:

21π кв.см.

Объяснение:

Дана круг, ограниченный окружностью радиусом R см.

Около нее описан правильный треугольник со стороной а см.

В нее же вписан правильный 4-угольник со стороной b см.

Площадь треугольника на 63√3 - 42 кв.см больше площади 4-угольника.

Найти площадь круга.

Решение:

1) Формула стороны правильного (равностороннего) треугольника, описанного вокруг окружности:

a = 2√3*R.

Площадь этого треугольника:

S(тр) = a^2*√3/4 = (2√3*R)^2*√3/4 = 12R^2*√3/4 = 3√3*R^2 кв.см.

2) Правильный 4-угольник - это квадрат.

Сторона квадрата, вписанного в окружность:

b = √2*R

Площадь квадрата:

S(кв) = b^2 = (√2*R)^2 = 2R^2

3) По условию, S(тр) = S(кв) + 63√3 - 42

3√3*R^2 = 2R^2 + 63√3 - 42

3√3*R^2 - 2R^2 = 63√3 - 42

R^2*(3√3 - 2) = 63√3 - 42

R^2 = (63√3 - 42) / (3√3 - 2)

R^2 = 21*(3√3 - 2) / (3√3 - 2) = 21

R = √21

4) Площадь круга:

S(кр) = π*R^2 = π*(√21)^2 = 21π кв.см.

Answer 2

Давайте решим задачу поэтапно.

Шаг 1: Обозначения

Пусть R - радиус окружности, ограничивающей круг. Пусть S₁ - площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности. Пусть S₂ - площадь правильного четырехугольника, вписанного в эту же окружность.

Шаг 2: Площадь правильного треугольника

Площадь правильного треугольника можно выразить через его сторону a по формуле:

S = (√3 / 4) * a²

Так как треугольник описан около окружности, его сторона равна диаметру окружности, то есть 2R. Значит,

S₁ = (√3 / 4) * (2R)² = (√3 / 4) * 4R² = √3 * R²

Шаг 3: Площадь правильного четырехугольника

Площадь правильного четырехугольника можно разделить на 4 треугольника. Каждый треугольник будет иметь сторону a, равную радиусу окружности R. Тогда площадь одного треугольника равна:

S₃ = (√3 / 4) * a² = (√3 / 4) * R²

Так как в четырехугольнике 4 таких треугольника, площадь всего четырехугольника равна:

S₂ = 4 * S₃ = 4 * (√3 / 4) * R² = √3 * R²

Шаг 4: Уравнение площадей

По условию задачи, площадь треугольника S₁ больше площади четырехугольника S₂ на величину 63√3 - 42:

S₁ - S₂ = 63√3 - 42

√3 * R² - √3 * R² = 63√3 - 42

0 = 63√3 - 42

63√3 = 42

√3 = 42 / 63

√3 = 2 / 3

Теперь мы можем найти площадь круга, ограниченного окружностью, используя формулу:

S = π * R²

Так как мы знаем, что S = √3 * R², то:

√3 * R² = π * R²

√3 = π

R² = (π / √3)²

R² = π² / 3

R = √(π² / 3)

R = π / √3

Таким образом, радиус