Question

В треугольнике MNK на стороне MK отмечена точка F. Докажи, что NF < NK, если ZMNF < 90°. ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ДАЮ 25 БАЛЛОВ!

Answer 1

Сумма внутренних углов треугольника 180°.

Треугольник MNF: ∠MNF=90° => ∠NFM<90°. Тогда смежный ∠NFK>90°

Треугольник NFK: ∠NFK>90° => ∠K<90°

В треугольнике NFK против большего угла лежит большая сторона.

∠NFK>∠K => NK>NF

Answer 2

Для доказательства того, что NF < NK, если угол ZMNF < 90°, мы можем использовать теорему о косинусах.

Из условия у нас есть треугольник MNK, в котором отмечена точка F на стороне MK. Также дано, что угол ZMNF < 90°.

Давайте обозначим угол MNF как α. Тогда угол MKN будет равен 90° - α, так как сумма углов треугольника равна 180°.

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для треугольника MNF:

NF^2 = MN^2 + MF^2 - 2 * MN * MF * cos(α)

Аналогично, для треугольника MNK:

NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 * MN * MK * cos(90° - α)

Так как cos(90° - α) = sin(α), мы можем заменить это в уравнении для NK^2:

NK^2 = MN^2 + MK^2 - 2 * MN * MK * sin(α)

Теперь сравним NF^2 и NK^2:

NF^2 - NK^2 = (MN^2 + MF^2 - 2 * MN * MF * cos(α)) - (MN^2 + MK^2 - 2 * MN * MK * sin(α)) NF^2 - NK^2 = MF^2 - MK^2 - 2 * MN * (MF * cos(α) - MK * sin(α))

Так как угол ZMNF < 90°, то cos(α) > sin(α), следовательно MF * cos(α) > MK * sin(α),