Question

Помогите, пожалуйста, решить задачи по геометрии 1) В треугольнике MNK медианы MA и NB пересекаются в точке C и образуют угол в 45 градусов.Найти площадь треугольника MNK ,если MA=12 NB=9. 2) В треугольнике АВС угол А равен альфа, угол В равен бета. На стороне ВС отмечена точка Е, так что АЕ=m, угол АЕВ равен гама. Найдите АС 3) В параллелограмме MNKP сторона MN=4, MP=6, NP=2 корня из 7. Найдите МК

Answer 1

1)   Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. ⇒ NC:СВ=6:3, и MC:СА=8:4. Одна из формул площади треугольника S=a•b•sinα•1/2, где а и b - стороны,  α- угол между ними. Sin45°=√2/2,   Тогда Ѕ(ACN)=6•4•√2/2=6√2. Медиана делит площадь треугольника пополам, три медианы делят его на 6 равновеликих треугольника. S(MNK)=6•Ѕ(ACN)=36√2 (ед. площади)

2) В ∆ АЕС  по теореме синусов   АЕ:sin∠С=АС:sin∠АЕC.   Сумма углов треугольника 180°. В ∆ АВС ∠С =180°-(α+ β).  ∠АЕС=180°-γ.  ⇒ m:sin(180°-α- β)= =AC:sin(180°-γ), откуда АС=m•sin(180*-γ)/sin(180*-α-β).

3) Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. ⇒ В треугольнике МNP отрезок МО - медиана. Формула медианы произвольного треугольника  М=(√(2a²+2b²-c²):2, где а и b - стороны, с - сторона, которую медиана делит. ⇒ МС=2МО=√(32+72-28)=2√19 ед. длины.

Или

 Из ∆ МNP по т.косинусов  NP²=MN²+MP²-2•MN•NP•cosNMP ⇒ MP²=16+36-48•cosNMP ⇒ cosNMP=(28-52):(-48)=1/2

  По т.косинусов МК²= MN²+NK²-(-2•MN•NK•cos∠MNK). Сумма  соседних углов параллелограмма 180° (т.к. МР||NK, MN - секущая, угол NMP и угол MNK- внутренние односторонние). ⇒cosMNK= - cosNMP  ⇒ МК=√(52+24)=2√19 (ед. длины)

Answer 2

1) Перед нами треугольник MNK, в котором медианы MA и NB пересекаются в точке C и образуют угол в 45 градусов. Дано, что MA = 12 и NB = 9.

Угол, образованный медианами в точке их пересечения, разделяет треугольник на четыре одинаковых треугольника, которые имеют общую вершину C. Таким образом, площадь треугольника MNK будет равна площади одного из этих четырех треугольников.

Пусть треугольник ACB - один из таких треугольников. Рассмотрим треугольник MAC. Он является прямоугольным, так как медиана в треугольнике равна половине основания и перпендикулярна ему.

Так как угол ACM = 45 градусов, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины AC: AC^2 = AM^2 + MC^2 AC^2 = 12^2 + MC^2 AC^2 = 144 + MC^2

Рассмотрим треугольник NBC. Он также является прямоугольным, так как медиана в треугольнике равна половине основания и перпендикулярна ему.

Так как угол NBC = 45 градусов, мы можем применить теорему Пифагора для нахождения длины NC: NC^2 = NB^2 + BC^2 NC^2 = 9^2 + BC^2 NC^2 = 81 + BC^2

Заметим, что треугольники MAC и NBC имеют общую высоту, так как прямые AM и BN перпендикулярны третьей стороне MN. Таким образом, площадь треугольников MAC и NBC будет пропорциональна квадратам их оснований AC и BC.

Поэтому, площадь треугольника MNK будет равна первоначальной площади треугольника CSN, равной (AC * BC)/2.

Зная значения AC^2 и NC^2, мы можем найти длины AC и BC, и затем найти площадь треугольника CSN: AC^2 = 144 + MC^2 NC^2 = 81 + BC^2

Для второй задачи и третьей задачи, пожалуйста, укажите, что известно и что нужно найти, чтобы я мог подробно решить их.