Question

найти площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2√(x+1) и касательной в точке x=3 и осью ординат

Answer 1

Ответ:

Площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2√(x+1), касательной в точке x=3 и осью ординат равна 5/12 ед.²

Объяснение:

Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=2√(x+1), касательной в точке x=3 и осью ординат.

Определим фигуру, площадь которой надо вычислить.

1. Построим график $y=2\sqrt{x+1}$, y ≥ 0.

$\displaystyle\arraycolsep=0.7em\begin{array}{ | c | c |c| c|}\cline{1-4}x& -1 & 0 & 3 \\\cline{1-4}y& 0 & 2 & 4 \\\cline{1-4}\end{array}$

2. Найдем уравнение касательной к графику в точке х = 3.

Уравнение касательной в точке х₀ имеет вид:

у = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀)

Найдем f(x₀):

$f(3)=2\cdot\sqrt{3+1} =4$

Найдем производную:

$\displaystyle f'(x)=2\cdot\frac{1}{2\sqrt{x+1} } =\frac{1}{\sqrt{x+1} }$

$\displaystyle f'(3)=\frac{1}{\sqrt{3+1} } =\frac{1}{2}$

Запишем уравнение касательной:

$\displaystyle y=4+\frac{1}{2}(x-3)=4+\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\\ \\ y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$

3. Построим этот график.

Линейная функция, график прямая.

$\displaystyle\arraycolsep=0.7em\begin{array}{ | c | c |c| }\cline{1-3}x& 3 & -1 \\\cline{1-3}y& 4 & 2 \\\cline{1-3}\end{array}$

Искомая фигура ограничена построенными графиками и осью ординат.

4. Формула для нахождения площади фигуры, ограниченной графиками функций:

$\displaystyle \boxed { S=\int\limits^b_a {(f_2(x) - f_1(x))} \, dx }$

У нас: a = 0; b = 3;

$\displaystyle f_2(x)=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2} ;\;\;\;f_1(x)=2\sqrt{x+1}$

Также используем формулу Ньютона-Лейбница:

$\displaystyle \boxed { \int\limits^b_a {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)}$

Площадь фигуры равна:

$\displaystyle S=\int\limits^3_0 {\left(\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}-2(x+1)^{\frac{1}{2}\right) } } \, dx =\\\\=\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2} x-2\cdot\frac{(x+1)^{\frac{3}{2} }\cdot2}{3}\right)\bigg|^3_0=\\ \\ =\left(\frac{1}{4}x^2+\frac{5}{2} x-\frac{4}{3} \sqrt{(x+1)^3} }\right)\bigg|^3_0 =\\\\=\frac{9}{4}+\frac{15}{2} -\frac{4}{3}\sqrt{64}-0-0+\frac{4}{3}=\\ \\ =\frac{39}{4} -\frac{28}{3}=\frac{117-112}{12} =\frac{5}{12}$

Площадь фигуры ограниченной графиком функции y=2√(x+1), касательной в точке x=3 и осью ординат равна 5/12 ед.²

#SPJ1

Answer 2

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = 2√(x + 1), касательной в точке x = 3 и осью ординат, нужно разделить эту фигуру на две части: треугольник и некоторую область между касательной и осью ординат.

Сначала найдем точку касания касательной с графиком функции y = 2√(x + 1). Для этого найдем производную функции и подставим x = 3:

f(x) = 2√(x + 1) f'(x) = 1/√(x + 1)

Подставляем x = 3:

f'(3) = 1/√(3 + 1) = 1/√4 = 1/2

Таким образом, угловой коэффициент касательной в точке x = 3 равен 1/2.

Теперь найдем уравнение касательной. Используя формулу для уравнения прямой, где m - угловой коэффициент и (x1, y1) - координаты точки на касательной, получаем:

y - y1 = m(x - x1)

Подставляем m = 1/2 и (x1, y1) = (3, f(3)):

y - f(3) = 1/2(x - 3)

Упрощаем:

y - f(3) = 1/2x - 3/2

Теперь находим точку пересечения касательной с осью ординат. Подставляем x = 0 в уравнение касательной:

y - f(3) = 1/2(0) - 3/2 y - f(3) = -3/2

Таким образом, точка пересечения с осью ординат имеет координаты (0, -3/2).

Теперь мы можем найти площадь фигуры. Фигура ограничена графиком функции y = 2√(x + 1), касательной в точке x = 3 и осью ординат.

Площадь фигуры равна сумме площадей треугольника и прямоугольника.

1. Площадь треугольника: Для этого найдем высоту треугольника, которая равна расстоянию между касательной и осью ординат. В данном случае высота равна |-3/2| = 3/2.

Теперь можем найти площадь треугольника: S_triangle = (1/2) * base * height = (1/2) * 3 * (3/2) = 9/4

2