Question

В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦ . Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Answer 1

Ответ:

Доказали, что точка М - середина CD.

Объяснение:

В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M на стороне CD. Докажите, что M — середина CD.

Дано: АВСD - выпуклый четырехугольник;

∠BCD = ∠CDA ⩾ 90◦;

ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно;

М ∈ CD;

Доказать: М - середина CD.

Доказательство:

Продолжим стороны ВС и АD до пересечения. Поставим точку К.

Соединим К и М.

1. Рассмотрим ΔАВК.

ВМ и АМ - биссектрисы ∠В и ∠А соответственно. (условие)

• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

⇒ КМ - биссектриса ∠К.

2. Рассмотрим ΔDCK.

• Сумма смежных углов равна 180°.

⇒ ∠DCK = 180° - ∠BCD

   ∠CDK = 180° - ∠CDA

   ∠BCD = ∠CDA (условие)

⇒  ∠DCK = ∠CDK

• Если в треугольнике два равных угла, то этот треугольник равнобедренный.

⇒ ΔDCK - равнобедренный.

• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой.

⇒ СМ = MD.

Доказали, что точка М - середина CD.

Answer 2

Для доказательства того, что точка M является серединой стороны CD в выпуклом четырехугольнике ABCD, нам понадобится использовать несколько свойств и теорем.

Обозначим ∠BCD как α и ∠CDA как β. Также пусть N будет точкой пересечения биссектрисы угла B с линией CD.

1. Поскольку ∠BCD = ∠CDA и выпуклый четырехугольник ABCD, угол ∠CDA должен быть больше или равен 90°. Таким образом, мы имеем α ≥ 90°.

2. Биссектрисы углов A и B делят соответственно ∠CAD и ∠CBD пополам. Поэтому ∠CAM = ∠MAD и ∠CBN = ∠NBD.

3. Так как ∠CAM = ∠MAD и линии AM и AD пересекаются в точке M, то треугольники AMC и AMD подобны по пропорции сторон. Аналогично, треугольники BNC и BND подобны по пропорции сторон.

4. Из подобия треугольников AMC и AMD мы можем сделать вывод, что соотношение сторон AM и MD равно соотношению сторон AC и CD: AM/MD = AC/CD.

5. Аналогично, из подобия треугольников BNC и BND следует, что BN/ND = BC/CD.

6. Так как BN и ND - это отрезки, лежащие на стороне BC, то BC = BN + NC. Заменив BN на ND/CD * BC в этом равенстве, получаем: BC = ND/CD * BC + NC. Вычитая BC из обеих частей, получим: 0 = ND/CD * BC + NC - BC, что можно переписать как: 0 = (ND/CD - 1) * BC + NC.

7. Поскольку α ≥ 90°, угол ∠BCD больше 90°, и следовательно, NC > BC. Таким образом, NC - BC > 0.

8. Из уравнения (6) мы знаем, что (ND/CD - 1) * BC + NC - BC = 0. С учетом (7) мы получаем, что (ND/CD - 1) * BC + NC - BC > 0. Это означает, что ND/CD - 1 > 0 или, что ND/CD > 1.

9. Следовательно, ND > CD, и точка M находится между точками N и D на отрезке CD.

10. Но N - точка пересечения биссектрисы угла B с линией CD, а M - точка пересечения биссектрис