Question

Даю 25 баллов!!! В основании пирамиды SABCD лежит квадрат со стороной 16. Ребро SA перпендикулярна к основанию пирамиды. Радиус описанной около пирамиды окружности равен 12. Найдите радиус окружности, вписанную в данную пирамиду.

Answer 1

Формула радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник (r):

r=ab/(a+b+c)=(a+b-c)/2

Центр вписанной сферы находится на пересечении плоскостей, проходящих через биссектрисы двугранных углов.

Для данной пирамиды радиус сферы совпадает с радиусом вписанной окружности в прямоугольный треугольник с катетами, равными высоте пирамиды и стороне основания.

Находим гипотенузу такого треугольника.

Для данной пирамиды она равна ребру SD.

Сначала находим высоту Н пирамиды из заданного радиуса описанной сферы R = 12.

Н = √((2*12)² - (16*√2)²) = √(576 – 512) = 64 = 8.

Теперь находим SD = √(8² + 16²) = √(64 + 256) = √320 = 8√5.

Отсюда получаем ответ.

Pадиус вписанной сферы равен r = (8 + 16 - 8√5)/2 = 12 - 4√5 ≈ 3,05573.

Answer 2

Спасибо за высокую оценку! Давайте решим эту задачу.

Пусть O - центр окружности, описанной вокруг пирамиды. Так как радиус описанной окружности равен 12, то OS = OA = OB = OC = OD = 12.

Также, поскольку ребро SA перпендикулярно к основанию пирамиды, треугольник SAB является прямоугольным.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения высоты пирамиды SA. По условию, сторона квадрата со основанием пирамиды равна 16, поэтому:

SA^2 = SB^2 + BA^2 = 16^2 + 16^2 = 256 + 256 = 512.

Таким образом, SA = √512 = 16√2.

Теперь рассмотрим треугольник OAS. Он является прямоугольным, поскольку AO - радиус описанной окружности, а SA - высота пирамиды, и они перпендикулярны.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса окружности, вписанной в пирамиду:

(r + 12)^2 = r^2 + (16√2)^2.

Раскроем скобки:

r^2 + 24r + 144 = r^2 + 512.

После сокращения и переноса всех членов в одну сторону, получим:

24r = 512 - 144, 24r = 368, r = 368 / 24, r = 46 / 3.

Итак, радиус окружности, вписанной в данную пирамиду, равен 46/3.