Question

​Построить уравнение плоскости, проходящей через прямую..A(3,-2,1),x+3/-3=y-2/1=z-1/4

Answer 1

В задании, очевидно, надо было так записать:

Построить уравнение плоскости, проходящей через точку A(3; -2; 1) и прямую (x + 3)/-3 = (y - 2)/1 = (z - 1)/4.

Для получения уравнения плоскости достаточно иметь координаты трёх точек. Одна задана A(3; -2; 1), а 2 другие можно определить на заданной прямой.

Уравнение прямой выразим в параметрическом виде.

x = -3t – 3,

y = t + 2,

z = 4t + 1.

Примем 2 значения t.

t = 0 и t = 1.

x(B) = -3-0 – 3 = -3,

y(B) = 0+ 2 = 2,

z(B) = 4*0 + 1 = 1. B(-3; 2; 1).

x(C) = -3*1 – 3 = -6,

y(C) = 1 + 2 = 3,

z(C) = 4*1 + 1 = 5. C(-6; 3; 5).

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA                y - yA                  z - zA

xB - xA             yB - yA              zB - zA

xC - xA            yC - yA              zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x – 3            y - (-2)           z – 1

-3 – 3          2 - (-2)           1 – 1

-6 – 3          3 - (-2)          5 - 1 = 0

x – 3           y - (-2)          z – 1

-6                   4                   0

-9                  5                    4 = 0.

(x – 3)(4·4-0·5) – (y - (-2)((-6)·4-0·(-9)) + (z – 1)((-6)·5-4·(-9)) = 0.

16(x – 3) + 24(y - (-2)) + 6(z – 1) = 0.

16x + 24y + 6z - 6 = 0 или, сократив на 2:

8x + 12y + 3z - 3 = 0.

Answer 2

Уравнение прямой в параметрической форме:

x = 3 + t y = -2 - 3t z = 1 + 4t

где t - параметр.

Чтобы построить уравнение плоскости, проходящей через эту прямую, нужно найти нормальный вектор плоскости. Нормальный вектор плоскости должен быть перпендикулярен вектору, параллельному прямой.

Вектор, параллельный прямой, можно получить, взяв координаты коэффициентов t в уравнении прямой. В данном случае, коэффициенты t равны 1, -3 и 4. Поэтому вектор, параллельный прямой, будет иметь координаты (1, -3, 4).

Теперь, чтобы найти нормальный вектор плоскости, возьмем два произвольных вектора, не лежащих на прямой и найдем их векторное произведение.

Выберем вектор (1, 0, 0) и (0, 1, 0). Найдем их векторное произведение:

(1, 0, 0) × (0, 1, 0) = (0, 0, 1)

Таким образом, нормальный вектор плоскости равен (0, 0, 1).

Итак, уравнение плоскости, проходящей через прямую исходя из заданных условий, будет иметь вид:

0(x - 3) + 0(y + 2) + 1(z - 1) = 0

Упрощая это уравнение, получим:

z - 1 = 0

Или можно записать в канонической форме:

z = 1