Question

Найти расстояние d от точки K(0; -2; 1) до плоскости p: -2x+y+z-4=0.

Answer 1

Ответ:

Даны плоскость p и произвольная точка и точка М0(х0;у0;z0), не лежащая на ней. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М1(х1;у1;z1)Îp, пусть d=ρ(M0,L) – расстояние от точки М0 до плоскости p. Тогда (рисунок)

ρ(M0,L)= = (13) , т.к. =1.

Если плоскость p задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0, то ее нормальный вектор имеет координаты {А;В;C}. В качестве единичного нормального вектора можно выбрать n= .

Т.к. М1(х1;у1;z1)Îp, то выполняется равенство Ax1+Ву1+Сz1+D=0.

={x0-x1;y0-y1;z0-z1}. Записывая скалярное произведение n в координатной форме, получаем:

ρ(M0,L)= = = =

=

d=ρ(M0,Π)= (14)

Пример. Найти длину высоты треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин.

Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Отклонением d точкиМ0(х0;у0;z0) от плоскости p называется число + d в случае, когда точка М0 и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости p, и число –d, когда точки М0 и О лежат по одну сторону от плоскости p.

Если начало координат О лежит на плоскости p, то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М0 по ту сторону от p, куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае.

Теорема. (с. 142) Пусть плоскость p задана нормированным уравнением

х cos a+у cos b+ z cos g-р=0 (13). Тогда отклонение точки М0(х0;у0;z0) от плоскости p, равно:

d=х cos a+у cos b+ z cos g-р (14)

Формула (14) позволяет найти и расстояние от точки до плоскости.

Пример. Найти длину высоты пирамиды.

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки до плоскости в трехмерном пространстве, можно использовать формулу:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где A, B и C - коэффициенты уравнения плоскости, а (x, y, z) - координаты точки.

В данном случае, уравнение плоскости p: -2x + y + z - 4 = 0 имеет следующие коэффициенты: A = -2, B = 1, C = 1, D = -4.

Используя координаты точки K(0, -2, 1), мы можем подставить значения в формулу:

d = |(-2)(0) + (1)(-2) + (1)(1) + (-4)| / sqrt((-2)^2 + 1^2 + 1^2) = |-2 - 2 - 4| / sqrt(4 + 1 + 1) = |-8| / sqrt(6) = 8 / sqrt(6).

Таким образом, расстояние d от точки K(0, -2, 1) до плоскости p: -2x + y + z - 4 = 0 равно 8 / sqrt(6).