Question

Докажите тождество 1)sina-sin3a/cosa-cos3a=-ctg2a 2) 2tga/1-tg^2a (cos^2a-1)=sin2a

Answer 1

Давайте рассмотрим каждое из тождеств по очереди и докажем их.

Тождество 1: \( \frac{\sin a - \sin 3a}{\cos a - \cos 3a} = -\cot 2a \)

Используем формулу разности синусов и косинусов: \[ \frac{\sin a - \sin 3a}{\cos a - \cos 3a} = \frac{2 \cos 2a \sin a}{2 \sin 2a \sin a} \]

Сокращаем на \( \sin a \): \[ \frac{\cancel{2} \cos 2a \cancel{\sin a}}{\cancel{2} \sin 2a \cancel{\sin a}} = \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = -\cot 2a \] Таким образом, мы доказали первое тождество.

Тождество 2: \( \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} + (\cos^2 a - 1) = \sin 2a \)

Используем тригонометрические тождества: \[ \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} + (\cos^2 a - 1) = \frac{2\sin a}{\cos a} + \cos^2 a - 1 \]

Домножаем первый член дроби на \(\frac{\cos a}{\cos a}\): \[ \frac{2\sin a}{\cos a} + \cos^2 a - 1 = \frac{2\sin a \cos a}{\cos^2 a} + \cos^2 a - 1 \]

Теперь объединим первые два члена: \[ \frac{2\sin a \cos a}{\cos^2 a} + \cos^2 a - 1 = \frac{2\sin a \cos a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} \]

Используем формулу для \(\sin 2a\): \[ \frac{2\sin a \cos a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{\sin 2a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} \]

Теперь, используя тождество \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), заменяем \(\sin^2 2a\) на \(1 - \cos^2 2a\): \[ \frac{\sin 2a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1 - \cos^2 2a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} \]

Раскрываем скобки и упрощаем: \[ \frac{1 - \cos^2 2a + \cos^3 a - \cos^2 a}{\cos^2 a} = \frac{1 - \cos^2 a (\cos a - 1) + \cos^3 a}{\cos^2 a} \]

Сокращаем на \(\cos^2 a\): \[ \frac{1 - \cos^2 a (\cos a - 1) + \cos^3 a}{\cos^2 a} = 1 - \cos a + \cos^2 a = \sin 2a \]

Таким образом, мы доказали второе тождество.