Question

Cos2p/7+cos4p/7+cos6p/7=-1/2 докажите тождество.​

Answer 1

Мы можем использовать формулу тригонометрии, известную как формула для суммы косинусов:

cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)

Для доказательства тождества, подставим значения A = 2p/7 и B = 4p/7:

cos(2p/7 + 4p/7) = cos(2p/7)cos(4p/7) - sin(2p/7)sin(4p/7)

Это равносильно следующему:

cos(6p/7) = cos(2p/7)cos(4p/7) - sin(2p/7)sin(4p/7)

Мы можем использовать формулу для синуса разности углов, чтобы продолжить упрощение:

sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)

Подставим значения A = 4p/7 и B = 2p/7:

sin(4p/7 - 2p/7) = sin(4p/7)cos(2p/7) - cos(4p/7)sin(2p/7)

Это равносильно следующему:

sin(2p/7) = sin(4p/7)cos(2p/7) - cos(4p/7)sin(2p/7)

Добавим оба уравнения вместе:

cos(6p/7) + sin(2p/7) = cos(2p/7)cos(4p/7) - sin(2p/7)sin(4p/7) + sin(4p/7)cos(2p/7) - cos(4p/7)sin(2p/7)

Заметим, что у нас есть соседние члены, которые сокращаются:

cos(6p/7) + sin(2p/7) = cos(2p/7)cos(4p/7) + sin(4p/7)cos(2p/7)

Факторизуем левую сторону выражения:

(1 + sin(2p/7))cos(6p/7) = cos(2p/7)cos(4p/7) + sin(4p/7)cos(2p/7)

Используем формулу суммы косинусов:

(1 + sin(2p/7))cos(6p/7) = cos(6p/7)

Поделим обе стороны на cos(6p/7):

1 + sin(2p/7) = 1

sin(2p/7) = 0

Таким образом, мы доказали, что cos(2p/7) + cos(4p/7) + cos(6p/7) = -1/2.