Question

Решить уравнение:5sin^2x-17sinxcosx+4cos^2x+4=0

Answer 1

Чтобы решить уравнение, давайте заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x), используя тригонометрическую тождества.

Теперь у нас есть уравнение: 5(1 - cos^2(x)) - 17sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) + 4 = 0

Распишем и упростим его: 5 - 5cos^2(x) - 17sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) + 4 = 0

На данном этапе у нас возникает уравнение вида -a*cos^2(x) + b*cos(x)*sin(x) + c = 0, где a = 4-5 = -1, b = -17, c = 9

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой дискриминанта, которая имеет вид: D = b^2 - 4ac

Вычислим его значение: D = (-17)^2 - 4*(-1)*9 = 289 + 36 = 325

Теперь найдем корни нашего уравнения: cos(x) = (-b ± √D) / 2a

cos(x) = (-(-17) ± √325) / 2*(-1) = (17 ± √325) / 2

Таким образом, получаем два решения: 1) cos(x) = (17 + √325) / 2 2) cos(x) = (17 - √325) / 2

Теперь найдем значения синуса для каждого решения, используя соотношение между синусом и косинусом на единичной окружности.

1) cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (17 + √325)^2 / 4 + sin^2(x) = 1 sin^2(x) = 1 - (17 + √325)^2 / 4

2) cos^2(x) + sin^2(x) = 1 (17 - √325)^2 / 4 + sin^2(x) = 1 sin^2(x) = 1 - (17 - √325)^2 / 4

Теперь найденные значения sin^2(x) подставим в начальное уравнение и проверим их:

1) 5(1 - cos^2(x)) - 17sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) + 4 = 0 5(1 - (17 + √325)^2 / 4) - 17sin(x)((17 + √325) / 2) + 4((17 + √325) / 2)^2 + 4 = 0

2) 5(1 - cos^2(x)) - 17sin(x)cos(x) + 4cos^2(x) + 4 = 0 5(1 - (17 - √325)^2 / 4) - 17sin(x)((17 - √325) / 2) + 4((17 - √325) / 2)^2 + 4 = 0

Подставив значения и вычислив, мы получим конкретные численные ответы.