Question

Существует ли такое число t что выполняется равенство sint=1/(корень7 - корень3)

Answer 1

Давайте рассмотрим уравнение \( \sin(t) = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \). Прежде чем приступить к его решению, давайте упростим дробь в правой части уравнения.

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы избавиться от знака разности квадратных корней:

\[ \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} &= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{7 - 3} \\ &= \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}. \end{align*} \]

Теперь у нас есть уравнение \( \sin(t) = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \).

Сначала рассмотрим диапазон значений для \(\sin(t)\). Поскольку \(-1 \leq \sin(t) \leq 1\), уравнение имеет решение только в том случае, если \(\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}\) лежит в этом диапазоне. Проверим это условие:

\[ -1 \leq \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4} \leq 1. \]

Умножим все части неравенства на 4:

\[ -4 \leq \sqrt{7} + \sqrt{3} \leq 4. \]

Вычитая \(\sqrt{3}\) из всех частей:

\[ -4 - \sqrt{3} \leq \sqrt{7} \leq 4 - \sqrt{3}. \]

Теперь возводим в квадрат:

\[ ( -4 - \sqrt{3})^2 \leq 7 \leq (4 - \sqrt{3})^2. \]

Решив это неравенство, мы получим допустимый диапазон для \(\sqrt{7}\), который подтверждает, что \(\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}\) находится в пределах от -1 до 1.

Теперь мы можем рассмотреть обратную функцию синуса. В общем виде решение уравнения \( \sin(t) = a \) задается как \( t = \arcsin(a) + 2\pi n \), где \( n \) - целое число.

Таким образом, решение вашего уравнения будет:

\[ t = \arcsin\left(\frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{4}\right) + 2\pi n, \]

где \( n \) - целое число. Однако, при решении уравнений с использованием обратной функции синуса, обычно учитывают ограничения на диапазон значений угла \( t \), который ограничен от 0 до \( 2\pi \) (или от \( -\pi \) до \( \pi \), в зависимости от контекста).