Question

Lim x -> pi (sin 5x - sin 3x)/(sin 2x) 

Answer 1

Для начала заметим, что в точке x = pi функция (sin 2x) обращается в ноль. Это означает, что нам нужно воспользоваться так называемым правилом Лопиталя, которое позволяет вычислить предел отношения двух функций, если обе эти функции обращаются в ноль в точке, в которой происходит вычисление предела.

Применим правило Лопиталя: lim x -> pi (sin 5x - sin 3x) / (sin 2x) = lim x -> pi (5cos 5x - 3cos 3x) / 2cos 2x

Теперь найдем предел по x при x -> pi для получившегося выражения. Заметим, что в точке x = pi функции cos 5x, cos 3x и cos 2x обращаются в -1. Поэтому можем снова воспользоваться правилом Лопиталя: lim x -> pi (5cos 5x - 3cos 3x) / 2cos 2x = lim x -> pi (-25sin 5x + 9sin 3x) / 4sin 2x = lim x -> pi (-125cos 5x + 27cos 3x) / 8cos 2x = lim x -> pi (625sin 5x - 81sin 3x) / 16sin 2x = lim x -> pi (-3125cos 5x + 243cos 3x) / 32cos 2x

Продолжая применять правило Лопиталя, мы будем получать все более сложные выражения, которые в точке x = pi будут принимать вид (-1) в числителе и знаменателе. Исходя из этого, можно сделать предположение, что предел данной функции при x -> pi будет равен некоторому числу (по сути, если мы продолжим вычисления, мы будем постепенно приближаться к этому числу, но точно его не достигнем).

Таким образом, ответ на данный вопрос будет: предел равен неопределенному значению (undefined).