Question

√2sin(3п/2-x)sinx=cosx Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [-5п,-4п]

Answer 1

Давайте решим уравнение:

\[ \sqrt{2} \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) \sin x = \cos x \]

1. Начнем с упрощения выражения в левой части уравнения, используя тригонометрические тождества:

\[ \sin\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\cos x \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ \sqrt{2} (-\cos x) \sin x = \cos x \]

2. Упростим:

\[ -\sqrt{2} \cos x \sin x = \cos x \]

3. Переносим все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[ -\sqrt{2} \cos x \sin x - \cos x = 0 \]

4. Факторизуем:

\[ -\cos x (\sqrt{2} \sin x + 1) = 0 \]

Таким образом, у нас два множителя, каждый из которых может быть равен нулю:

- \(\cos x = 0\) - \(\sqrt{2} \sin x + 1 = 0\)

5. Решим каждое уравнение отдельно:

a. \(\cos x = 0\)

Углы, при которых \(\cos x = 0\), находятся вида \(x = \frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

b. \(\sqrt{2} \sin x + 1 = 0\)

\[ \sqrt{2} \sin x = -1 \]

\[ \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} \]

Угол \(x\) для этого случая равен \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) или \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\), где \(k\) - целое число.

Теперь, чтобы найти корни на интервале \([-5\pi, -4\pi]\), мы можем подставить значения \(k\) так, чтобы удовлетворять данному интервалу:

Для \(\cos x = 0\), мы можем взять \(k = -8, -7, -6, -5\) и так далее.

Для \(\sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}}\), мы можем взять \(k = -2, -1, 0, 1\) и так далее.

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие промежутку \([-5\pi, -4\pi]\), будут:

\[ x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{7\pi}{4}, -\pi, -\frac{5\pi}{4} \]