Question

5x^2+4x-9<=0 Решите неравенство

Answer 1

Чтобы решить квадратное неравенство \(5x^2 + 4x - 9 \leq 0\), давайте найдем корни квадратного уравнения, связанного с этим неравенством. Уравнение \(5x^2 + 4x - 9 = 0\) можно решить с использованием квадратного трехчлена или, например, методом факторизации или квадратного корня.

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет решения \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

В данном случае \(a = 5\), \(b = 4\), и \(c = -9\).

\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-9)}}{2 \cdot 5} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{10} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{10} \] \[ x = \frac{-4 \pm 14}{10} \]

Таким образом, корни уравнения \(5x^2 + 4x - 9 = 0\) равны \(x_1 = \frac{1}{5}\) и \(x_2 = -\frac{9}{5}\).

Теперь давайте определим знак выражения \(5x^2 + 4x - 9\) в каждом из трех интервалов, образованных корнями уравнения.

1. Когда \(x < -\frac{9}{5}\): Подставим значение \(x = -2\):

\[ 5(-2)^2 + 4(-2) - 9 = 20 - 8 - 9 = 3 \]

Знак положителен.

2. Когда \(-\frac{9}{5} < x < \frac{1}{5}\): Подставим значение \(x = 0\):

\[ 5(0)^2 + 4(0) - 9 = -9 \]

Знак отрицателен.

3. Когда \(x > \frac{1}{5}\): Подставим значение \(x = 1\):

\[ 5(1)^2 + 4(1) - 9 = 5 + 4 - 9 = 0 \]

Знак равен нулю.

Таким образом, неравенство \(5x^2 + 4x - 9 \leq 0\) выполняется при \(-\frac{9}{5} \leq x \leq \frac{1}{5}\).