Question

2sin^2-5sinxcosx-cos^2x=-2

Answer 1

Чтобы решить уравнение \(2\sin^2x - 5\sin x \cos x - \cos^2x = -2\), давайте воспользуемся тригонометрическими тождествами. Первым шагом можно воспользоваться тождеством \(\sin^2x + \cos^2x = 1\) и представить \(\cos^2x\) в виде \(1 - \sin^2x\):

\[2\sin^2x - 5\sin x \cos x - (1 - \sin^2x) = -2\]

Теперь раскроем скобки и приведем подобные члены:

\[2\sin^2x - 5\sin x \cos x - 1 + \sin^2x = -2\]

Объединим члены, содержащие \(\sin^2x\):

\[3\sin^2x - 5\sin x \cos x - 1 = -2\]

Теперь перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[3\sin^2x - 5\sin x \cos x - 1 + 2 = 0\]

\[3\sin^2x - 5\sin x \cos x + 1 = 0\]

Теперь это уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Давайте обозначим \(\sin x\) как \(t\):

\[3t^2 - 5t + 1 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где \(a = 3\), \(b = -5\), и \(c = 1\).

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)}\]

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6}\]

\[t = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}\]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \(\sin x\):

\[t_1 = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}\]

\[t_2 = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}\]

Теперь, чтобы найти значения \(\cos x\), воспользуемся тем, что \(\cos x = \pm \sqrt{1 - \sin^2x}\). Таким образом,

\[\cos x = \pm \sqrt{1 - t^2}\]

\[\cos x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{5 + \sqrt{13}}{6}\right)^2}\]

\[\cos x = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{5 - \sqrt{13}}{6}\right)^2}\]

Теперь у нас есть четыре возможных комбинации значений \(\sin x\) и \(\cos x\), которые удовлетворяют исходному уравнению.