Question

Сколько целых чисел удовлетворяет неравенству log₅(5-x^2)/log₂(x^4+x^2+1) >0

Answer 1

Давайте разберемся с данной задачей.

У нас есть неравенство:

\[\frac{\log_5(5-x^2)}{\log_2(x^4+x^2+1)} > 0.\]

Чтобы решить это неравенство, рассмотрим три интервала на числовой прямой:

1. \(5 - x^2 > 0\), что эквивалентно \(x^2 < 5\). Это выполняется для \(-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\).

2. \(x^4 + x^2 + 1 > 0\). Это квадратное уравнение относительно \(x^2\), и его дискриминант \(D = 4 - 4(1)(1) = 0\), следовательно, у уравнения есть единственный корень \(x^2 = -1\), который не имеет действительных корней. Таким образом, \(x^4 + x^2 + 1 > 0\) для всех действительных \(x\).

Теперь рассмотрим, как меняются знаки в каждом интервале:

1. \(-\infty < x < -\sqrt{5}\): Оба логарифма отрицательны, значит, частное положительно. 2. \(-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\): Логарифм в числителе положителен, логарифм в знаменателе также положителен, значит, частное положительно. 3. \(\sqrt{5} < x < +\infty\): Оба логарифма отрицательны, значит, частное положительно.

Таким образом, решением неравенства является интервал \(-\sqrt{5} < x < \sqrt{5}\).