Question

Решите неравенство tgx больше или равняется корню из 3. tgx≥√3

Answer 1

Для решения данного неравенства, нам потребуется использовать тригонометрические свойства и неравенства. Давайте начнем.

Приведение неравенства к основному диапазону

Первым шагом мы приведем неравенство к основному диапазону, чтобы упростить его решение. Тангенс является периодической функцией с периодом π, поэтому мы можем привести неравенство к основному диапазону, добавив или вычитая целое количество периодов π.

В данном случае, основной диапазон можно выбрать таким образом: 0 ≤ x < π.

Решение неравенства в основном диапазоне

Теперь мы можем приступить к решению неравенства в основном диапазоне.

Дано: tg(x) ≥ √3

Для упрощения записи, давайте заменим √3 на k.

tg(x) ≥ k

Воспользуемся тригонометрическим тождеством:

tg(x) = sin(x) / cos(x)

Теперь неравенство примет вид:

sin(x) / cos(x) ≥ k

Умножим обе части неравенства на cos(x):

sin(x) ≥ k * cos(x)

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество:

sin^2(x) + cos^2(x) = 1

Перепишем неравенство:

sin^2(x) / cos^2(x) + cos^2(x) / cos^2(x) ≥ k^2

(sin^2(x) + cos^2(x)) / cos^2(x) ≥ k^2

1 / cos^2(x) ≥ k^2

Разделим обе части неравенства на k^2:

1 / (k^2 * cos^2(x)) ≥ 1

cos^2(x) ≤ 1 / (k^2)

Решение неравенства cos^2(x) ≤ 1 / (k^2)

Теперь мы должны решить неравенство cos^2(x) ≤ 1 / (k^2).

Вспомним, что cos^2(x) = 1 - sin^2(x).

Заменим cos^2(x) в неравенстве:

1 - sin^2(x) ≤ 1 / (k^2)

Перенесем все в одну часть неравенства:

sin^2(x) + 1 / (k^2) - 1 ≥ 0

Сделаем общий знаменатель:

(k^2 * sin^2(x) + 1 - k^2) / (k^2) ≥ 0

(k^2 * sin^2(x) - (k^2 - 1)) / (k^2) ≥ 0

Теперь нам нужно решить неравенство (k^2 * sin^2(x) - (k^2 - 1)) / (k^2) ≥ 0.

Решение неравенства (k^2 * sin^2(x) - (k^2 - 1)) / (k^2) ≥ 0

Для решения данного неравенства, мы можем использовать следующие правила:

1. Если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки, то значение неравенства положительное. 2. Если числитель и знаменатель имеют противоположные знаки, то значение неравенства отрицательное. 3. Если числитель равен нулю, то значение неравенства равно нулю. 4. Если знаменатель равен нулю, то значение неравенства неопределено.

Давайте рассмотрим каждый случай по отдельности.

Случай 1: Числитель и знаменатель положительны.

k^2 * sin^2(x) - (k^2 - 1) ≥ 0

k^2 * sin^2(x) ≥ k^2 - 1

sin^2(x) ≥ (k^2 - 1) / k^2

Решение неравенства sin^2(x) ≥ (k^2 - 1) / k^2

Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения x, для которых sin^2(x) больше или равно ((k^2 - 1) / k^2).

Вспомним, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1. Заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1 - cos^2(x) ≥ (k^2 - 1) / k^2

cos^2(x) ≤ 1 - (k^2 - 1) / k^2

cos^2(x) ≤ (2 - k^2) / k^2

Так как cos^2(x) не может быть отрицательным, нам необходимо, чтобы выражение (2 - k^2) / k^2 было неотрицательным:

(2 - k^2) / k^2 ≥ 0

Теперь мы можем рассмотреть два подслучая внутри этого случая:

Подслучай 1.1: (2 - k^2) / k^2 > 0

В этом случае, (2 - k^2) и k^2 имеют одинаковые знаки. Так как (2 - k^2) > 0, то k^2 также должно быть больше нуля. Это означает, что k не должно быть равно нулю.

Теперь мы можем решить неравенство cos^2(x) ≤ (2 - k^2) / k^2.

cos^2(x) ≤ (2 - k^2) / k^2

cos(x) ≤ √((2 - k^2) / k^2)

Таким образом, решение для данного подслучая будет: 0 ≤ x < π, где cos(x) ≤ √((2 - k^2) / k^2).

Подслучай 1.2: (2 - k^2) / k^2 = 0

В этом случае, (2 - k^2) = 0, что приводит к k = √2 или k = -√2. Однако, по условию, k = √3, поэтому этот подслучай не является решением.

Случай 2: Числитель и знаменатель отрицательны.

k^2 * sin^2(x) - (k^2 - 1) ≤ 0

k^2 * sin^2(x) ≤ k^2 - 1

sin^2(x) ≤ (k^2 - 1) / k^2

Решение неравенства sin^2(x) ≤ (k^2 - 1) / k^2

Для решения данного неравенства, нам нужно найти значения x, для которых sin^2(x) меньше или равно ((k^2 - 1) / k^2).

Аналогично предыдущему случаю, мы можем заменить sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1 - cos^2(x) ≤ (k^2 - 1) / k^2

cos^2(x) ≥ 1 - (k^2 - 1) / k^2

cos^2(x) ≥ (2 - k^2) / k^2

Аналогично предыдущему случаю, чтобы выражение (2 - k^2) / k^2 было неотрицательным, нам нужно рассмотреть два подслучая внутри этого случая:

Подслучай 2.1: (2 - k