Question

Возведите в степень по формуле Муавра: (-2+i2)3

Answer 1

Для возведения числа в степень по формуле Муавра, сначала нужно представить число в тригонометрической форме. Для этого нужно выразить его модуль и аргумент.

Пусть дано число z = -2 + i2. Чтобы найти модуль z, нужно найти квадратный корень из суммы квадратов его вещественной и мнимой частей:

|z| = sqrt((-2)^2 + (2)^2) = sqrt(4 + 4) = sqrt(8) = 2*sqrt(2).

Аргумент z можно найти, используя функцию арктангенса:

arg(z) = atan(Im(z)/Re(z)) = atan(2/(-2)) = atan(-1) = -π/4.

Теперь, имея модуль и аргумент числа z, мы можем использовать формулу Муавра для возведения его в степень. Формула Муавра гласит:

z^n = |z|^n * (cos(n*arg(z)) + i*sin(n*arg(z))).

В нашем случае, z = -2 + i2, и нам нужно возвести его в степень 3. Подставляя значения в формулу Муавра, получаем:

(-2 + i2)^3 = (2*sqrt(2))^3 * (cos(3*(-π/4)) + i*sin(3*(-π/4))).

Вычисляя значения, получаем:

(-2 + i2)^3 = 8*sqrt(2) * (cos(-3π/4) + i*sin(-3π/4)).

Окончательно, можно записать результат в алгебраической форме:

(-2 + i2)^3 = 8*sqrt(2) * (-sqrt(2)/2 - i*sqrt(2)/2) = -16 - 16i.

Таким образом, результат возведения числа (-2 + i2) в степень 3 по формуле Муавра равен -16 - 16i.