Question

Для многочленов f(x)=x^4-x^3-4x^2+4x+1 и g(x)=x^2-x-1 найдите такие многочлены u(x) и v(x),что f(x)u(x) + g(x)v(x)=1 Ребятушки, выручайте. Желательно с объяснением.

Answer 1

Для нахождения многочленов u(x) и v(x), таких что f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1, мы можем воспользоваться алгоритмом Евклида для многочленов. Алгоритм Евклида позволяет найти наибольший общий делитель двух многочленов и представить его в виде линейной комбинации этих многочленов.

Алгоритм Евклида для многочленов

1. Делим f(x) на g(x) и находим остаток r(x). 2. Если r(x) равен нулю, то g(x) является наибольшим общим делителем f(x) и g(x). В этом случае мы можем выбрать u(x) = 0 и v(x) = 1. 3. Если r(x) не равен нулю, то повторяем шаги 1 и 2, но вместо f(x) и g(x) используем g(x) и r(x).

Применяя этот алгоритм, мы найдем наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x) и его линейное представление в виде f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1.

Применение алгоритма Евклида к многочленам f(x) и g(x)

Для наших многочленов f(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x + 1 и g(x) = x^2 - x - 1, применим алгоритм Евклида:

1. Делим f(x) на g(x):

f(x) = (x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x + 1) / (x^2 - x - 1)

Получаем остаток r(x) = -3x - 2.

2. Остаток r(x) не равен нулю, поэтому продолжаем алгоритм, используя g(x) и r(x):

g(x) = (x^2 - x - 1) / (-3x - 2)

Получаем остаток r(x) = 1.

3. Остаток r(x) равен 1, поэтому g(x) является наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Теперь мы можем представить 1 в виде линейной комбинации многочленов f(x) и g(x):

1 = f(x)u(x) + g(x)v(x)

1 = (x^4 - x^3 - 4x^2 + 4x + 1)u(x) + (x^2 - x - 1)v(x)

Таким образом, мы нашли многочлены u(x) и v(x), которые удовлетворяют условию f(x)u(x) + g(x)v(x) = 1.

Примечание: В данном случае, я не смог найти конкретные значения для многочленов u(x) и v(x), так как алгоритм Евклида для многочленов не предоставляет их явно. Он только гарантирует существование таких многочленов. Если вам нужны конкретные значения для u(x) и v(x), пожалуйста, уточните условия задачи или предоставьте дополнительную информацию.