Question

(7/8)^(4-x)<(8/7)^(2x+1)

Answer 1

Давайте рассмотрим данное неравенство и попробуем его решить. Имеем:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} < (\frac{8}{7})^{(2x+1)}\]

Для начала, приведем обе стороны к общему знаменателю, чтобы упростить неравенство:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} < (\frac{8}{7})^{(2x+1)}\]

Переведем обе стороны неравенства в десятичную форму:

\[10^{\log_{10}(\frac{7}{8})^{(4-x)}} < 10^{\log_{10}(\frac{8}{7})^{(2x+1)}}\]

Теперь используем свойство логарифма \(a^{\log_{a}x} = x\):

\[\frac{7}{8}^{(4-x)} < \frac{8}{7}^{(2x+1)}\]

Умножим обе стороны на \((8/7)^{2x}\) для избавления от знаменателя:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot (\frac{8}{7})^{2x} < (\frac{8}{7})^{(2x+1)} \cdot (\frac{8}{7})^{2x}\]

Сократим степени и упростим:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot (\frac{8}{7})^{2x} < (\frac{8}{7})^{(2x+1+2x)}\]

Теперь упростим:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot (\frac{8}{7})^{2x} < (\frac{8}{7})^{(5x+1)}\]

Теперь воспользуемся свойствами степеней:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot \frac{64}{49} < \frac{8^{(5x+1)}}{7^{(5x+1)}}\]

Умножим обе стороны на \(7^{(5x+1)}\) для избавления от знаменателя:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot \frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(5x+1)}\]

Теперь упростим:

\[(\frac{7}{8})^{(4-x)} \cdot \frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(5x+1)}\]

Теперь умножим обе стороны на \(8^{(x-4)}\), чтобы избавиться от базы \(8\) в левой части:

\[\frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(5x+1)} \cdot 8^{(x-4)}\]

Теперь упростим:

\[\frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(5x+1+x-4)}\]

\[\frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(6x-3)}\]

Теперь упростим:

\[\frac{64 \cdot 7^{(5x+1)}}{49} < 8^{(6x-3)}\]

Теперь перепишем \(64\) и \(49\) как степени числа \(8\) и \(7\) соответственно:

\[\frac{8^2 \cdot 7^{(5x+1)}}{7^2} < 8^{(6x-3)}\]

Теперь используем свойство \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\):

\[\frac{8^{2+(5x+1)-2}}{7^2} < 8^{(6x-3)}\]

Теперь упростим:

\[\frac{8^{5x+1}}{7^2} < 8^{(6x-3)}\]

Теперь сравним показатели степени:

\[5x+1 < 6x-3\]

Добавим \(3\) к обеим сторонам:

\[5x+4 < 6x\]

Вычтем \(5x\) из обеих сторон:

\[4 < x\]

Таким образом, допустимыми значениями \(x\) являются все числа больше \(4\).