Question

Разложить на множители : x⁴+2x³-2x-1

Answer 1

Конечно, разложим многочлен \(x^4 + 2x^3 - 2x - 1\) на множители.

Сначала попробуем использовать метод подбора рациональных корней (теорема Рационы-Вейерштрасса). Рациональные корни многочлена могут быть представлены в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) - делитель свободного члена (-1), а \(q\) - делитель старшего коэффициента (1).

Из этого следует, что рациональные корни могут быть: \(\pm 1\) или \(\pm \frac{1}{1}\).

Подставим значения в многочлен и проверим их:

1. При \(x = 1\): \((1)^4 + 2(1)^3 - 2(1) - 1 = 1 + 2 - 2 - 1 = 0\)

Таким образом, \(x = 1\) является корнем многочлена.

Используем синтетическое деление или деление полиномов для деления многочлена на \((x - 1)\) для нахождения остальных множителей.

\[x^4 + 2x^3 - 2x - 1 \, \text{поделить на} \, (x - 1)\]

\[ \begin{array}{c|ccccc} & x^4 & +2x^3 & 0x^2 & -2x & -1 \\ \hline (x-1) & x^4 & -x^3 & & & \\ & \downarrow & x^4 & -x^3 & & \\ \hline & & 3x^3 & & & \\ & & \downarrow & 3x^3 & -3x^2 & \\ \hline & & & -3x^2 & 3x & \\ & & & \downarrow & -3x^2 & 3x & \\ \hline & & & & x & -1 \\ & & & & \downarrow & x & -1 \\ \hline & & & & & 0 \\ \end{array} \]

Получаем, что \(x^4 + 2x^3 - 2x - 1 = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 3x + 1)\)

Теперь попробуем факторизовать многочлен \(x^3 + 3x^2 - 3x + 1\). Но увидим, что он не факторизуется на рациональные множители.

Однако, можно воспользоваться другими методами факторизации, такими как группировка или применение других формул. В данном случае, попробуем применить формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\) к некоторым членам многочлена.

\[x^3 + 3x^2 - 3x + 1 = (x^3 + 3x^2) + (-3x + 1)\]

Выделим общие множители:

\(x^3 + 3x^2 = x^2(x + 3)\) и \(-3x + 1\) не имеет общих множителей.

Теперь многочлен принимает вид: \(x^2(x + 3) -1(3x - 1)\).

Таким образом, факторизация многочлена \(x^4 + 2x^3 - 2x - 1\) выглядит так:

\[x^4 + 2x^3 - 2x - 1 = (x - 1)(x^3 + 3x^2 - 3x + 1) = (x - 1)[x^2(x + 3) -1(3x - 1)]\]