Question

Сума третього й дев'ятого членів арифметичної прогресії дорівнює 16. Знайдіть суму перших 11 членів цієї прогресії.

Answer 1

Дана  арифметическая прогрессия , где 
a₃ +a₉ =16
----
S₁₁ -?

S₁₁ =(a₁ +a₁₁)/2 * 11 = (a₃ +a₉) /2 *11 =(16/2) *11 =8*11 =88.
т.к.  a₁ +a₁₁ =a₁ +(a₁+10d) =(a₁ +2d) +(a₁+8d ) =a₃ +a₉.
* * *  сумма индексов равны 1+11 =3+9 .
Обобщение :
a(m) + a(n) = a(i) +a(j) , если   m + n = i + j .
действительно
a(m) + a(n) = a₁ +(m-1)d +  a₁ +(n-1)d  = 2a₁ + (m+n -2)d .
a(i)  +  a(j)   =    a₁ +(i-1)d + a₁ + (j-1)d   = 2a₁ + (i+j -2)d .

Answer 2

A(3)+a(9)=16
a(1)+2d+a(1)+8d=16
2a(1)+10d=16
S(n)=(2a(1)+d(n-1))÷2×n
S(11)=(2a(1)+10d)÷2×11= 16÷2×11= 88