Question

Какое наибольшее значение может принимать сумма косинусов всех углов равнобедренного треугольника?(с пояснением)

Answer 1

Пусть углы при основании равны x, тогда угол при вершине равен 180°-2x. Составим функцию зависимости суммы косинусов углов данного треугольника от x:

f(x)=2cosx+cos(180°-2x)=2cosx-cos2x=2cosx-2cos²x+1=-2cos²x+2cosx+1

Сделав замену cosx=t, получим функцию:

f(t)=-2t²+2t+1

Это парабола, a<0 ⇒ ветви вниз. Наибольшее значение функции достигается в вершине.

t0=-2/-4=0.5

Меняем обратно:

cosx=0.5  ⇒  x=±π/3+2πk; k∈Z

Осталось подставить любой корень из полученных двух серий корней в уравнение функции и найти f(x)max:

f(π/3)=-2cos²(π/3)+2cos(π/3)+1=-2·(1/4)+2·(1/2)+1=1.5

Ответ: 1.5