Question

Решите уравнение f'(x)=0 f(x) = sinx + 3cosx Даю 20 баллов

Answer 1

Решение
f(x) = sinx + 3cosx
f`(x) = cosx - 3sinx
f'(x)=0  
cosx - 3sinx = 0
делим на сosx ≠ 0, x ≠ π/2 + πn, n ∈ Z
1 - 3tgx = 0
3tgx = 1
tgx = 1/3
x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z

Answer 2

Чтобы решить уравнение f'(x) = 0, мы должны найти точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Для начала найдем производную функции f(x). Если дано f(x) = sin(x) + 3cos(x), мы можем применить правило дифференцирования для суммы и получим:

f'(x) = d/dx(sin(x)) + d/dx(3cos(x))

Производная синуса sin(x) равна cos(x), а производная косинуса cos(x) равна -sin(x). Подставим эти значения в уравнение:

f'(x) = cos(x) - 3sin(x)

Теперь, чтобы найти точки, где f'(x) = 0, приравняем это уравнение к нулю и решим его:

0 = cos(x) - 3sin(x)

Для удобства можно представить каждую функцию в терминах синуса:

0 = cos(x) - 3sin(x) * (1/√(1 + 9))

Объединяя эти термины, получим:

0 = cos(x) - (3/√(1 + 9)) * sin(x) 0 = cos(x) - (3/√10) * sin(x)

Мы видим, что здесь есть две функции - cos(x) и sin(x), их значения зависят от угла x.

Существуют различные подходы для решения такого уравнения. Один из них - метод Ньютона или итерации, где мы приближаем корни уравнения, последовательно уточняя свои приближения.

Применение метода Ньютона к данному уравнению будет выглядеть следующим образом:

1. Выберите начальное приближение для x (например, x = 0). 2. Вычислите значение f'(x) и f(x) для данного значения x. 3. Используйте формулу метода Ньютона: x1 = x - f(x)/f'(x), чтобы получить новое приближение x1. 4. Повторите шаги 2-3, пока приближение не будет достаточно близким к истинному значению корня.

Полученные значения x рассматриваются как приближенные корни уравнения f'(x) = 0.

Уточним решение, используя метод Ньютона:

1. Выберем начальное приближение x = 0. 2. Рассчитаем f'(x) для данного значения x: f'(0) = cos(0) - 3sin(0) = 1. 3. Рассчитаем f(x) для данного значения x: f(0) = sin(0) + 3cos(0) = 3. 4. Используем формулу метода Ньютона: x1 = x - f(x)/f'(x) = 0 - 3/1 = -3. 5. Повторяем шаги 2-4, используя x1 в качестве нового значения x. 6. Рассчитываем f'(x1): f'(-3) = cos(-3) - 3sin(-3) ≈ -0.91. 7. Рассчитываем f(x1): f(-3) = sin(-3) + 3cos(-3) ≈ -2.34. 8. Используем формулу метода Ньютона: x2 = -3 - (-2.34)/(-0.91) ≈ -0.95. 9. Продолжаем повторять шаги 2-8, пока полученное приближение не станет достаточно близким к истинному значению корня.

Таким образом, используя метод Ньютона или другие методы, мы можем уточнить значение корней уравнения f'(x) = 0. В данном случае, f(x) = sin(x) + 3cos(x), и мы можем получить точные значения корней.