Question

При каких значениях a и b система уравнений имеет бесконечно множество решений?

Answer 1

Находим главный определитель системы
a  -4,5
               =-3a+9 =0   3a=9  a=3
2  -3

находим вспомогательные определители

6  -4,5
               = -18+4,5b=0  4,5b=18  b=4
b  -3

a  6
         = ab-12=0  ab=12  3b=12  b=4
2   b 

если определители системы равны 0, то система либо имеет бесконечно много
решений либо несовместна. проверим систему при a=3 b=4

3x-4,5y=6
2x-3y=4  умножив второе уравнение на 1,5 получим первое

система сводится к уравнению 3х-4,5у=6 которое имеет бесконечное чило решений
ответ a=3 b=4

Answer 2

Система уравнений имеет бесконечно множество решений, когда все уравнения являются пропорциональными друг другу. То есть, когда одно уравнение можно получить, умножив другое уравнение на некоторую константу.

Предположим, у нас есть система из двух уравнений:

a*x + b*y = c d*x + e*y = f

Для того чтобы система имела бесконечно множество решений, необходимо и достаточно, чтобы второе уравнение было пропорционально первому. То есть, можно получить второе уравнение, умножив первое на некоторую константу k:

d*x + e*y = k*(a*x + b*y)

Если выполняется эта пропорциональность, то все значения (x, y), удовлетворяющие первому уравнению, будут также удовлетворять второму уравнению, и наоборот.

Таким образом, при значениях a, b, d, e, k, не равных нулю, таких что a/d = b/e = k, система имеет бесконечно множество решений.