Question

Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, чтобы было выполнено равенство 3^m+112=n^2.

Answer 1

Перепишем уравнение  $3^m - 3^2 = (n-11)(n+11)$ 
$9*(3^{m-2}-1) = (n-11)(n+11) \\ m\ \textgreater \ 2$       
Сделаем замену   $(n-11)(n+11) = x*(9x+22)$  , потому что  число слева делится нацело на число $9$ 
$x*(9x+22)= 3^y \\ y=m-2$                                                           
Теперь так как квадратное уравнение  
$9x^2+22x+1 = f(x) \\ 9\ \textgreater \ 0$              
а показательное функция имеет вид  одной ветви гиперболы , то функция имеет максимально две точки пересечение  
 Значит наше уравнение имеет максимум два решения , очевидно это         $n=11;29 \\ m=2;6$

Answer 2

Давайте решим это уравнение пошагово.

У нас есть уравнение 3^m * 112 = n^2. Чтобы решить его, нужно найти все пары натуральных чисел m и n, которые удовлетворяют этому равенству.

Шаг 1: Разложение 112 на простые множители

Давайте начнем с разложения числа 112 на простые множители. Это поможет нам понять, какие значения m и n могут удовлетворять уравнению.

112 = 2^4 * 7

Шаг 2: Разложение 3 на простые множители

Теперь разложим число 3 на простые множители:

3 = 3^1

Шаг 3: Сравнение показателей степени

Теперь сравним показатели степени для простых множителей 3 и 2 в уравнении и в разложении числа 112.

Из уравнения: m = 1 (потому что 3^m = 3^1 = 3) Из разложения числа 112: m = 4 (потому что 2^4 = 16)

Здесь происходит противоречие, так как мы получили разные значения для m. Это означает, что уравнение 3^m * 112 = n^2 не имеет решений в натуральных числах.

Таким образом, нет таких пар натуральных чисел m и n, которые удовлетворяют уравнению 3^m * 112 = n^2.