Question

С земли бросили мяч высоко вверх. Его высоту в метрах над поверхностью земли через t секунд описывает функция h(t)=24t−4t2на какую наибольшую высоту от поверхности земли взлетит мяч? Через сколько секунд мяч упадет на землю?

Answer 1

H(t)`=(24t-4t²)`=0
24-8t=0
8t=24
t=3 (c)
h(3)=24*3-4*3²=72-36=36 (м).

Answer 2

Чтобы найти наибольшую высоту, достигнутую мячом, и время его падения на землю, нужно решить задачу оптимизации, используя данную функцию высоты мяча от времени.

Дана функция высоты мяча от времени: \[ h(t) = 24t - 4t^2 \]

1. Находим вершину параболы, чтобы определить наивысшую точку, которую достигнет мяч. Вершина параболы \( ax^2 + bx + c \) находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} \). В нашем случае \( a = -4 \), \( b = 24 \): \[ t_{\text{вершины}} = -\frac{24}{2 \times (-4)} = 3 \]

Теперь подставим \( t = 3 \) в \( h(t) \), чтобы найти максимальную высоту: \[ h(3) = 24 \times 3 - 4 \times 3^2 = 72 \]

Таким образом, мяч достигнет максимальной высоты 72 метра.

2. Теперь найдем время, через которое мяч упадет на землю. Мяч поднимается вверх и опускается вниз, поэтому время подъема и время спуска равны. Время подъема до вершины \( t_{\text{подъема}} = 3 \) секунды, следовательно, время спуска от вершины до поверхности земли также \( t_{\text{спуска}} = 3 \) секунды.

Итак, наивысшая точка будет достигнута через 3 секунды, а мяч упадет на землю через еще 3 секунды, итого \( 3 + 3 = 6 \) секунд.